习题七

1、

μ1=E(X)=μ=1n∑i=1nxi=18(74.001+74.005+74.003+74.001+74.000+73.998+74.006+74.002)=74.002\mu_1=E(X)=\mu\\=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^nx_i\\=\frac{1}{8}(74.001+74.005+74.003+74.001+74.000+73.998+74.006+74.002)=74.002μ1=E(X)=μ=n1∑i=1nxi=81(74.001+74.005+74.003+74.001+74.000+73.998+74.006+74.002)=74.002

σ2=1n∑i=1n(xi−μ)2=18[(μ−74.001)2+(μ−74.005)2+(μ−74.003)2+(μ−74.001)2+(μ−74.000)2+(μ−73.998)2+(μ−74.006)2+(μ−74.002)2]=6∗10−6\sigma^2=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^n(x_i-\mu)^2\\=\frac{1}{8}[(\mu-74.001)^2+(\mu-74.005)^2+(\mu-74.003)^2+(\mu-74.001)^2+(\mu-74.000)^2+(\mu-73.998)^2+(\mu-74.006)^2+(\mu-74.002)^2]\\=6*10^{-6}σ2=n1∑i=1n(xi−μ)2=81[(μ−74.001)2+(μ−74.005)2+(μ−74.003)2+(μ−74.001)2+(μ−74.000)2+(μ−73.998)2+(μ−74.006)2+(μ−74.002)2]=6∗10−6

样本方差和总体方差的关系得到

S2=nn−1σ2=6.86∗10−6S^2=\frac{n}{n-1}\sigma^2=6.86*10^{-6}S2=n−1nσ2=6.86∗10−6

x<-c(74.001,74.005,74.003,74.001,74.000,73.998,74.006,74.002)
mean(x)                          # \mu
sum((x-mean(x))^2)/length(x)     # \sigma^2
var(x)                           # S^2

6、

由题意可得X∼B(10,p)P(X=k)=C10kpk(1−p)10−kX\sim B(10,p)\ \ P(X=k)=C_{10}^kp^k(1-p)^{10-k}X∼B(10,p) P(X=k)=C10kpk(1−p)10−k

似然函数为L(p)=∏i=1100C10kpk(1−p)1−kL(p)=\prod_{i=1}^{100}C_{10}^kp^k(1-p)^{1-k}L(p)=∏i=1100C10kpk(1−p)1−k

lnL(p)=(∑i=1100xi)lnp+(1000−∑i=1100x+i)ln(1−p)+∑i=1100lnC10xilnL(p)=(\sum_{i=1}^{100}x_i)lnp+(1000-\sum_{i=1}^{100}x+i)ln(1-p)+\sum_{i=1}^{100}lnC_{10}^{x_i}lnL(p)=(∑i=1100xi)lnp+(1000−∑i=1100x+i)ln(1−p)+∑i=1100lnC10xi

dlnLdp=∑i=1100xp−11−p(1000−∑i=1100xi)=0\frac{dlnL}{dp}=\frac{\sum_{i=1}^{100}x}{p}-\frac{1}{1-p}(1000-\sum_{i=1}^{100}x_i)=0dpdlnL=p∑i=1100x−1−p1(1000−∑i=1100xi)=0

解得：P^=∑i=1nxin2=Xˉn=4991000=0.499\hat P=\frac{\sum_{i=1}^nx_i}{n^2}=\frac{\bar X}{n}=\frac{499}{1000}=0.499P^=n2∑i=1nxi=nXˉ=1000499=0.499

由此可得

当总体XXX服从二项分布X∼B(n,p)X\sim B(n,p)X∼B(n,p)时，参数p的极大似然估计为P^=Xˉn\hat P=\frac{\bar X}{n}P^=nXˉ

sum(0*0,1*1,6*2,3*7,4*23,5*26,6*21,7*12,8*3,9*1,10*0)/1000

16、

（1）

根据题意σ\sigmaσ已知，求μ\muμ的置信水平为0.95的置信区间

P{−Zα2<Xˉ−μσ/n<Zα2}=1−αP\{-Z_{\frac{\alpha}{2}}<\frac{\bar X-\mu}{\sigma/\sqrt{n}}<Z_{\frac{\alpha}{2}}\}=1-\alphaP{−Z2α<σ/nXˉ−μ<Z2α}=1−α

解得：(Xˉ−σnZα2,Xˉ+σnZα2)(\bar X - \frac{\sigma}{\sqrt{n}}Z_{\frac{\alpha}{2}},\bar X+ \frac{\sigma}{\sqrt{n}}Z_{\frac{\alpha}{2}})(Xˉ−nσZ2α,Xˉ+nσZ2α)将σ=0.6,1−α=0.95,Zα2=1.96,Xˉ=6\sigma = 0.6,1-\alpha =0.95,Z_{\frac{\alpha}{2}}=1.96,\bar X=6σ=0.6,1−α=0.95,Z2α=1.96,Xˉ=6代入得置信区间为(5.608,6.392)(5.608,6.392)(5.608,6.392)

x<-c(6.0,5.7,5.8,6.5,7.0,6.3,5.6,6.1,5.0)
m<-mean(x)    # \bar X
sigma<-0.6    # \sigma
n<-length(x)
alpha<-0.05
m+sigma/sqrt(n)*qnorm(1-alpha/2)
m-sigma/sqrt(n)*qnorm(1-alpha/2)

（2）

σ\sigmaσ未知，求μ\muμ的置信水平为0.95的置信区间

P{−tα2(n−1)<Xˉ−μS/n<tα2(n−1)}=1−αP\{-t_{\frac{\alpha}{2}}(n-1)<\frac{\bar X-\mu}{S/\sqrt{n}}<t_{\frac{\alpha}{2}}(n-1)\}=1-\alphaP{−t2α(n−1)<S/nXˉ−μ<t2α(n−1)}=1−α

(Xˉ−Sntα2(n−1),Xˉ+Sntα2(n−1))(\bar X - \frac{S}{\sqrt{n}}t_{\frac{\alpha}{2}}(n-1),\bar X+ \frac{S}{\sqrt{n}}t_{\frac{\alpha}{2}}(n-1))(Xˉ−nSt2α(n−1),Xˉ+nSt2α(n−1))

代入数据得置信区间为（5.558，6.442）

x<-c(6.0,5.7,5.8,6.5,7.0,6.3,5.6,6.1,5.0)
m<-mean(x)    # \bar X
S<-sd(x)      # S
n<-length(x)
alpha<-0.05
m+S/sqrt(n)*qt(1-alpha/2,n-1)
m-S/sqrt(n)*qt(1-alpha/2,n-1)

18、

μ\muμ未知，求σ\sigmaσ的置信水平为0.95的置信区间

P{χ1−α22(n−1)<(n−1)S2σ2<χα22(n−1)}=1−αP\{ \chi^2_{1-\frac{\alpha}{2}}(n-1)<\frac{(n-1)S^2}{\sigma^2}< \chi^2_{\frac{\alpha}{2}}(n-1)\}=1-\alphaP{χ1−2α2(n−1)<σ2(n−1)S2<χ2α2(n−1)}=1−α

解得：((n−1)S2χα22(n−1),(n−1)S2χ1−α22(n−1))(\frac{(n-1)S^2}{ \chi^2_{\frac{\alpha}{2}}(n-1)},\frac{(n-1)S^2}{ \chi^2_{1-\frac{\alpha}{2}}(n-1)})(χ2α2(n−1)(n−1)S2,χ1−2α2(n−1)(n−1)S2)

代入数据得：(7.4,21.1)(7.4,21.1)(7.4,21.1)

s<-11
alpha<-0.05
n<-9
df<-n-1
sqrt(df*s^2/qchisq(1-alpha/2,df))
sqrt(df*s^2/qchisq(alpha/2,df))

21、

μ1,μ2,σ\mu_1,\mu_2,\sigmaμ1,μ2,σ均未知，求μ1−μ2\mu_1-\mu_2μ1−μ2置信度为0.95的置信区间

直接套公式，置信区间为(Xˉ−Yˉ−tα2(n1+n2−2)Sw1n1+1n2,Xˉ−Yˉ+tα2(n1+n2−2)Sw1n1+1n2)(\bar X-\bar Y-t_{\frac{\alpha}{2}}(n_1+n_2-2)S_w\sqrt{\frac{1}{n_1}+\frac{1}{n_2}},\bar X-\bar Y+t_{\frac{\alpha}{2}}(n_1+n_2-2)S_w\sqrt{\frac{1}{n_1}+\frac{1}{n_2}})(Xˉ−Yˉ−t2α(n1+n2−2)Swn11+n21,Xˉ−Yˉ+t2α(n1+n2−2)Swn11+n21)

代入数据得：(−0.002，0.006)(-0.002，0.006)(−0.002，0.006)

x1<-c(0.143,0.142,0.143,0.137)
x2<-c(0.140,0.142,0.136,0.138,0.140)
m1<-mean(x1)
m2<-mean(x2)
alpha=0.05
n1<-length(x1)
n2<-length(x2)
sw<-sqrt(((n1-1)*var(x1)+(n2-1)*var(x2))/(n1+n2-2))
m1-m2-qt(1-alpha/2,n1+n2-2)*sw*(sqrt(1/n1+1/n2))
m1-m2+qt(1-alpha/2,n1+n2-2)*sw*(sqrt(1/n1+1/n2))

23、

μ1,μ2\mu_1,\mu_2μ1,μ2均未知，求σA2σB2\frac{\sigma_A^2}{\sigma_B^2}σB2σA2置信度为0.95的置信区间

置信区间为

(S12S221Fα2(n1−1,n2−1),S12S221F1−α2(n1−1,n2−1))(\frac{S_1^2}{S_2^2}\frac{1}{F_{\frac{\alpha}{2}}(n_1-1,n_2-1)},\frac{S_1^2}{S_2^2}\frac{1}{F_{1-{\frac{\alpha}{2}}}(n_1-1,n_2-1)})(S22S12F2α(n1−1,n2−1)1,S22S12F1−2α(n1−1,n2−1)1)

代入数据解得：(0.222,3.601)(0.222,3.601)(0.222,3.601)

sa=0.5419
sb=0.6065
alpha=0.05
n=10
del=sa/sb
del/qf(1-alpha/2,n-1,n-1)
del/qf(alpha/2,n-1,n-1)

25、

（1）

依题意求σ\sigmaσ未知μ\muμ的单侧置信上限

μˉ=Xˉ+Sntα(n−1)\bar \mu=\bar X+\frac{S}{\sqrt{n}t_\alpha(n-1)}μˉ=Xˉ+ntα(n−1)S

代入数据解得：(−∞,6.108)(-\infty,6.108)(−∞,6.108)

x<-c(6.0,5.7,5.8,6.5,7.0,6.3,5.6,6.1,5.0)
m<-mean(x)    # \bar X
sigma<-0.6    # \sigma
n<-length(x)
alpha<-0.05
m+sigma/sqrt(n)/qt(1-alpha,n-1)

（2）

依题意求σ\sigmaσ未知μ1−μ2\mu_1-\mu_2μ1−μ2的单侧置信下限

μ1−μ2‾=Xˉ−Yˉ−tα(n1+n2−2)Sw1n1+1n2\underline{\mu_1-\mu_2}=\bar X-\bar Y-t_\alpha(n_1+n_2-2)S_w\sqrt{\frac{1}{n_1}+\frac{1}{n_2}}μ1−μ2=Xˉ−Yˉ−tα(n1+n2−2)Swn11+n21

代入数据解得：(−0.001,+∞)(-0.001,+\infty)(−0.001,+∞)

x1<-c(0.143,0.142,0.143,0.137)
x2<-c(0.140,0.142,0.136,0.138,0.140)
m1<-mean(x1)
m2<-mean(x2)
alpha=0.05
n1<-length(x1)
n2<-length(x2)
sw<-sqrt(((n1-1)*var(x1)+(n2-1)*var(x2))/(n1+n2-2))
m1-m2-qt(1-alpha,n1+n2-2)*sw*(sqrt(1/n1+1/n2))

（3）

依题意求μ1,μ2\mu_1,\mu2μ1,μ2未知σ12σ22\frac{\sigma_1^2}{\sigma_2^2}σ22σ12的单侧置信上限

σ12σ22‾=S12S221F1−α(n1−1,n2−1)\overline {\frac{\sigma_1^2}{\sigma_2^2}}=\frac{S_1^2}{S_2^2}\frac{1}{F_{1-{\alpha}}(n_1-1,n_2-1)}σ22σ12=S22S12F1−α(n1−1,n2−1)1

代入数据解得：(−∞,0.281)(-\infty,0.281)(−∞,0.281)

sa=0.5419
sb=0.6065
alpha=0.05
n=10
del=sa/sb
del/qf(1-alpha,n-1,n-1)

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