离散数学第7章欧拉图，哈密顿图

2024-05-14 10:18:27

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现实问题提出，解决：

欧拉图的基本概念：

如何判段欧拉图，半欧拉图：

汉（哈）密顿图的定义：

现实问题提出，解决：

哥尼斯堡7桥问题： 18世纪初普鲁士的哥尼斯堡，有一条河穿过，河上有两个小岛，有七座桥把两个岛与河岸联系起来（如概述图）。有个人提出一个问题：一个步行者怎样才能不重复、不遗漏地一次走完七座桥，最后回到出发点。后来大数学家欧拉把它转化成一个几何问题——一笔画问题。他不仅解决了此问题，且给出了连通图可以一笔画的充要条件是：奇点的数目不是0个就是2个（连到一点的数目如是奇数条，就称为奇点，如果是偶数条就称为偶点，要想一笔画成，必须中间点均是偶点，也就是有来路必有另一条去路，奇点只可能在两端，因此任何图能一笔画成，奇点要么没有要么在两端）

抽象出来就是：a,b,c,d4个结点中，任意一个结点找一个通过所有边一次仅一次的回路，即找欧拉回路，即证明该图是欧拉图，用定理：无向图中欧拉图《——》所有结点度数偶数。可得无法找到。如果还不知道如何证明快点复习一下概念吧。

欧拉图的基本概念：

一定要弄清定义：说到这些词汇，脑袋里一定有个清晰概念

g=（v,e）是连通无向图（无向图中，任意两个结点存在一条路，则叫连通无向图）

欧拉通路：通过所有边一次仅一次的通路

欧拉回路：通过所有边一次仅一次的回路

欧拉图：具有欧拉回路的图

半欧拉图：具有欧拉通路但不具有欧拉回路的图

如何判段欧拉图，半欧拉图：

欧拉图的充要条件

无向图中欧拉图《——》所有结点度数偶数

无向图中半欧拉图《——》只有2个奇度结点

有向图中欧拉图《——》每个结点的入度=出度

有向图中半欧拉图《——》只有2个奇数结点，其中一个结点入读比出度大1，另一个结点入读比出度小1

汉（哈）密顿图的定义：

哈密顿图：图中，有一条包含所有结点一次仅一次的回路，称这个为汉密顿回路，汉密顿图。

半哈密顿图：图中，有一条包含所有结点一次仅一次的通路，称这个为汉密顿通路。

求最短路：

找相邻结点，标号。画圈（找当前距离最小的结点），放到永久标号集。然后进行迭代

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