矩阵分析与应用+张贤达
第一章 矩阵与线性方程组 （二）
文章目录
- 第一章 矩阵与线性方程组 （二）
- 一、 矩阵的基本运算
- 1. 复矩阵和实矩阵
- 2. 转置、复数共轭
- 3. 简单的代数运算
- 3.1 两个矩阵的加法
- 3.2 矩阵与一个标量的乘法
- 3.3 矩阵与向量的乘积
- 3.4 矩阵与矩阵的乘积
- 4. 运算规则
- 4.1 加法
- 4.2 乘法
- 5. 逆矩阵
- 6. 矩阵的共轭、转置、共轭转置和逆矩阵的性质
- 6.1 矩阵的共轭、转置和共轭转置满足分配律
- 6.2 矩阵乘积的转置、共轭转置和逆矩阵满足关系式
- 6.3 共轭、转置和共轭转置等符号均可与求逆符号交换
- 6.4 对应任意矩阵AAA，矩阵B=AHAB=A^HAB=AHA都是Hermitian矩阵
一、 矩阵的基本运算
1. 复矩阵和实矩阵
令R表示实数集合，C表示复数集合。
一个复矩阵定义为按照长方阵列排列的复数集合，记作
类似地，一个实矩阵记作
2. 转置、复数共轭
- 若A=[aij]A = [a_{ij}]A=[aij]是一个m * n矩阵，则AAA的转置记作ATA^TAT,是一个n * m矩阵，定义为[AT]ij=aji[A^T]_{ij} = a_{ji}[AT]ij=aji
- 矩阵AAA的复数共轭A∗A^*A∗定义为[A∗]ij=aij∗[A^*]_{ij} = a_{ij}^*[A∗]ij=aij∗
- 复共轭转置记作AHA^HAH，定义为
共轭转置又叫Hermitian伴随、Hermitian转置或Hermitian共轭。满足AH=AA^H = AAH=A的正方复矩阵称为Hermitian矩阵或共轭对称矩阵。
共轭转置与转置之间存在下列关系：
AH=(A∗)T=(AT)∗A^H = (A^*)^T = (A^T)^*AH=(A∗)T=(AT)∗
3. 简单的代数运算
3.1 两个矩阵的加法
两个m * n矩阵A=[aij]A = [a_{ij}]A=[aij] 和 B=[bij]B = [b_{ij}]B=[bij]之和记作A+BA+BA+B， 定义为[A+B]ij=aij+bij[A + B]_{ij} = a_{ij} + b_{ij}[A+B]ij=aij+bij
3.2 矩阵与一个标量的乘法
令A=[aij]A = [a_{ij}]A=[aij]是一个m * n矩阵，且α\alphaα是一个标量。乘积α\alphaαAAA是一个m * n矩阵，定义为[[[ α\alphaαA]ij=αaijA]_{ij}=\alpha a_{ij}A]ij=αaij
3.3 矩阵与向量的乘积
m * n矩阵A=[aij]A = [a_{ij}]A=[aij] 与r * 1 向量x=[x1,x2,⋅⋅⋅,xr]Tx = [x_1,x_2,···,x_r]^Tx=[x1,x2,⋅⋅⋅,xr]T的乘积AxAxAx只有当n=r时才存在，它是一个m * 1向量，定义为
3.4 矩阵与矩阵的乘积
m * n矩阵A=[aij]A = [a_{ij}]A=[aij] 与r * s 矩阵B=[bij]B = [b_{ij}]B=[bij]的乘积ABABAB只有当n=r时才存在，它是一个m * s向量，定义为
4. 运算规则
4.1 加法
- 加法交换律：A+B=B+AA + B = B + AA+B=B+A
- 加法结合律：(A+B)+C=A+(B+C)(A + B) + C = A + (B + C)(A+B)+C=A+(B+C)
4.2 乘法
- 乘法结合律：A(BC)=(AB)CA(BC) = (AB)CA(BC)=(AB)C
- 乘法左分配律：若AAA和BBB是两个m * n矩阵，且CCC是一个n * p矩阵，则(A+B)C=AC+BC(A+B)C = AC + BC(A+B)C=AC+BC
- 乘法右分配律：若AAA是两个m * n矩阵，且BBB和CCC是一个n * p矩阵，则A(B+C)=AB+ACA(B+C) = AB + ACA(B+C)=AB+AC
- 若α\alphaα是一个标量，并且AAA和BBB是两个m* n矩阵，则α\alphaα (A+B)=αA+αB(A+B) = \alpha A + \alpha B(A+B)=αA+αB
5. 逆矩阵
令A是一个n * n矩阵。称矩阵AAA可逆，若可以找到一个n * n矩阵A−1A^{-1}A−1 满足AA−1=A−1A=IA A^{-1} = A^{-1}A = IAA−1=A−1A=I，并称A−1A^{-1}A−1是矩阵AAA的逆矩阵。
6. 矩阵的共轭、转置、共轭转置和逆矩阵的性质
6.1 矩阵的共轭、转置和共轭转置满足分配律
(A+B)∗=A∗+B∗(A+B)^* = A^* + B^*(A+B)∗=A∗+B∗
(A+B)T=AT+BT(A+B)^T = A^T+B^T(A+B)T=AT+BT
(A+B)H=AH+BH(A+B)^H=A^H+B^H(A+B)H=AH+BH
6.2 矩阵乘积的转置、共轭转置和逆矩阵满足关系式
(AB)T=BTAT(AB)^T = B^TA^T(AB)T=BTAT
(AB)H=BHAH(AB)^H = B^HA^H(AB)H=BHAH
(AB)−1=B−1A−1(AB)^{-1} = B^{-1}A^{-1}(AB)−1=B−1A−1 A,B为可逆的正方矩阵
6.3 共轭、转置和共轭转置等符号均可与求逆符号交换
(A∗)−1=(A−1)∗(A^*)^{-1} = (A^{-1})^*(A∗)−1=(A−1)∗ , (AT)−1=(A−1)T(A^T)^{-1} = (A^{-1})^T(AT)−1=(A−1)T,(AH)−1=(A−1)H(A^H)^{-1} = (A^{-1})^H(AH)−1=(A−1)H
因此，常常分别采用紧凑的数学符号A−∗A^{-*}A−∗,A−TA^{-T}A−T,A−HA^{-H}A−H
6.4 对应任意矩阵AAA，矩阵B=AHAB=A^HAB=AHA都是Hermitian矩阵
若AAA可逆，则对于Hermitian矩阵B=AHAB=A^HAB=AHA，有A−HBA−1=A−HAHAA−1=IA^{-H}BA^{-1} = A^{-H}A^{H}AA^{-1} = IA−HBA−1=A−HAHAA−1=I
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