四种误差的定义

1. 模型误差：

由数学模型（比如公式）产生的误差。

例1： 自由落体运动
s=12gt2,g≈9.8m/s2s=\frac{1}{2}gt^2,g\approx 9.8m/s^2s=21gt2,g≈9.8m/s2
产生的计算数据s(t)s(t)s(t)，同物体真实下落的距离s∗(t)s^*(t)s∗(t)产生的模型误差>s∗(t)−s(t)s^*(t)-s(t)s∗(t)−s(t)。

2. 观测误差：

由观测得到的观测数据产生的误差。

例2： 给出一个参数α=(0.0021±0.001)\alpha = (0.0021 \pm 0.001)α=(0.0021±0.001)中，0.001就是观测误差。

3. 截断误差：

模型的准确解与应用数值方法求得的解的差。

例3： 用Taylor公式计算指数
ex=1+x+x22!+…+xnn!+…e^x=1+x+\frac{x^2}{2!}+\ldots + \frac{x^n}{n!}+\ldotsex=1+x+2!x2+…+n!xn+…
如果只取前n+1项，得到的阶段误差就是：
∑k=0∞xkk!−∑k=0nxkk!=∑k=n+1∞xkk!\sum_{k=0}^{\infty}\frac{x^k}{k!}-\sum_{k=0}^{n}\frac{x^k}{k!}=\sum_{k=n+1}^{\infty}\frac{x^k}{k!} k=0∑∞k!xk−k=0∑nk!xk=k=n+1∑∞k!xk

4. 舍入误差

对于无限小数，计算时只能取有限项位小数引起的误差。

例4： 用3.1415近似代替圆周率π\piπ，得到的就是舍入误差：
p=3.1415−3.141592…=−0.000092…p=3.1415-3.141592\ldots\\ =-0.000092\ldots p=3.1415−3.141592…=−0.000092…

浮点数

1. 浮点数的表示方法

定义任何一个有限位浮点数均可以表示成
x=±ωβJ=±0.α1α2…αt×βJ,L≤J≤Ux=\pm \omega \beta^J=\pm 0.\alpha_1\alpha_2\ldots\alpha_t\times\beta^J, L\leq J\leq U x=±ωβJ=±0.α1α2…αt×βJ,L≤J≤U
其中，β\betaβ称为基，代表进制系统，JJJ代表阶，是一个整数，ω=0.α1α2…αt\omega=0.\alpha_1\alpha_2\ldots\alpha_tω=0.α1α2…αt表示尾数，其中0≤αi≤β,i=1,2,…t0\leq \alpha_i \leq \beta, i=1,2,\ldots t0≤αi≤β,i=1,2,…t。

规格化浮点数： x=0.α1α2…αt×βJx=0.\alpha_1\alpha_2\ldots\alpha_t\times\beta^Jx=0.α1α2…αt×βJ，其中尾数第一项α1≠0\alpha_1 \neq 0α1=0。

例5：

十进制浮点数： x=3.14=0.314×101x=3.14=0.314 \times 10^1x=3.14=0.314×101；

二进制浮点数： x=1011.1101=0.10111101×24x=1011.1101=0.10111101 \times 2^4x=1011.1101=0.10111101×24；

十六进制浮点数： x=3A0F.BC1=0.3A0FBC1×164x=3A0F.BC1=0.3A0FBC1 \times 16^4x=3A0F.BC1=0.3A0FBC1×164

2. 计算机位数与浮点数

一个n位的计算机内浮点数的表示一定是有限的，而且受限于位数。所以对于一个出厂的计算机来说，它内部表示的浮点数的尾数尾数ttt是固定的。

我们用
F={x:x=0.α1α2…αt×βJ,L≤J≤U}\mathcal{F}=\{x:x=0.\alpha_1\alpha_2\ldots\alpha_t\times\beta^J,L\leq J\leq U\} F={x:x=0.α1α2…αt×βJ,L≤J≤U}
表示β\betaβ进位制计数系统的全体浮点数，LLL表示 上溢限， UUU表示下溢限。当一个浮点数超过0.99…9×10U0.99\ldots9 \times 10^U0.99…9×10U或者小于−0.99…×10L-0.99\ldots\times 10^L−0.99…×10L时，计算机无法表示这个浮点数（十进制意义）。

误差、误差限、有效数字

1. 误差的准确定义

1.1 定义用x∗x^x∗表示xxx的准确值的一个近似值，将近似值与准确值之差称之为近似值x∗x^x∗的绝对误差

e∗=x∗−xe^*=x^*-x e∗=x∗−x

1.2 误差的性质

近似值减去它的误差就是准确值：x=x∗−e∗x=x^*-e^*x=x∗−e∗;

误差可正可负；

误差为正：强近似；误差为负：弱近似。

2. 误差限

2.1 定义由于准确值xxx可能无法得出，所以我们成误差的绝对值的上界为误差限:

∣e∗∣=∣x∗−x∣≤ϵ∗→误差限|e^*|=|x^*-x| \leq \epsilon^* \rightarrow 误差限 ∣e∗∣=∣x∗−x∣≤ϵ∗→误差限

误差限可以有很多，但是一定是非负数；近似值x∗x^*x∗的精确度表示：
x=x∗±ϵ∗x=x^* \pm \epsilon^* x=x∗±ϵ∗

例6： 用毫米（mmmmmm）刻度米尺测量长度，读出x∗=1235mmx^*=1235mmx∗=1235mm。而米尺的误差不拆过0.55mm0.55mm0.55mm。这个时候可以取误差限为ϵ∗=0.55mm\epsilon^*=0.55mmϵ∗=0.55mm，从而准确值：
(x=1235±0.5)mm(x=1235\pm 0.5)mm (x=1235±0.5)mm

2.2 四舍五入方法

把一个数xxx按四舍五入方法取得近似数的准则是：按照舍入到第几位小数，查看其下一位数，小于五则直接舍入；若大于五，舍去此位，然后前一位进一。

3. 有效数字

3.1 定义：如果近似值x∗x^x∗的误差限是x∗x^x∗的某一位的半个单位，则该位到x∗x^x∗的第一位非零数字一共有nnn位，就称近似值x∗x^x∗有n位有效数字。

如果用四舍五入方法取准确值的前n位作为近似值，那么这个近似值就有n位有效数字。

3.2 误差限与有效数字的关系

设规格化浮点数x∗=0.α1α2…αn…×10Px^*=0.\alpha_1\alpha_2\ldots\alpha_n\ldots\times10^Px∗=0.α1α2…αn…×10P，如果误差限ϵ∗=12×10P−n\epsilon^* = \frac{1}{2}\times 10^{P-n}ϵ∗=21×10P−n，也就是
∣x∗−x∣≤12×10P−n|x^*-x| \leq \frac{1}{2}\times 10^{P-n} ∣x∗−x∣≤21×10P−n
则称x∗x^*x∗具有n位有效数字。

例7：

首先将近似值x∗x^*x∗表示成规格化浮点数
a1a2.a3a4=0.a1a2a3a4×1020.00a1a2a3=0.a1a2a3×10−2a_1a_2.a_3a_4=0.a_1a_2a_3a_4\times 10^2\\ 0.00a_1a_2a_3=0.a_1a_2a_3\times 10^{-2} a1a2.a3a4=0.a1a2a3a4×1020.00a1a2a3=0.a1a2a3×10−2

利用ϵ∗=12×10P−n\epsilon^* = \frac{1}{2}\times 10^{P-n}ϵ∗=21×10P−n
ϵ1∗=12×102−4ϵ1∗=12×10−2−3\epsilon_{1}^* = \frac{1}{2}\times 10^{2-4}\\ \epsilon_{1}^* = \frac{1}{2}\times 10^{-2-3} ϵ1∗=21×102−4ϵ1∗=21×10−2−3

相对误差

1. 相对误差的定义

定义近似数的误差和准确值的比值，称为近似数的相对误差。
er∗=e∗x=x∗−xxe^*_r=\frac{e^*}{x}=\frac{x^*-x}{x} er∗=xe∗=xx∗−x
如果er∗e^*_rer∗较小，可以用x∗x^*x∗代替xxx，然后用
er∗=e∗x∗=x∗−xx∗e^*_r=\frac{e^*}{x^*}=\frac{x^*-x}{x^*} er∗=x∗e∗=x∗x∗−x
表示相对误差

2. 相对误差限的定义

定义相对误差绝对值的上界，称为近似值的相对误差限
ϵr∗=ϵ∗∣x∣\epsilon^*_r=\frac{\epsilon^*}{|x|} ϵr∗=∣x∣ϵ∗
或者
ϵr∗=ϵ∗∣x∗∣\epsilon^*_r=\frac{\epsilon^*}{|x^*|} ϵr∗=∣x∗∣ϵ∗

例8：

参数α=(2.35±0.001)mm\alpha=(2.35\pm 0.001)mmα=(2.35±0.001)mm的相对误差限为
ϵr∗=0.0012.35≈0.0043\epsilon_r^*=\frac{0.001}{2.35} \approx 0.0043 ϵr∗=2.350.001≈0.0043

π\piπ的近似值x∗=3.14159x^*=3.14159x∗=3.14159的相对误差
ϵr∗=0.000083.14159≈0.000025\epsilon_r^*=\frac{0.00008}{3.14159} \approx 0.000025 ϵr∗=3.141590.00008≈0.000025

3. 相对误差与有效数字的关系

（1）设近似数（采用规格化浮点数）x∗=±0.α1α2…αn…×10px^*=\pm 0.\alpha_1\alpha_2\ldots\alpha_n\ldots\times 10^px∗=±0.α1α2…αn…×10p，那么它的相对误差限可以选为
ϵr∗=12α1×10−(n−1)\epsilon_r^*=\frac{1}{2\alpha_1}\times 10^{-(n-1)} ϵr∗=2α11×10−(n−1)

（2）若近似数x∗x^*x∗的相对误差限满足
ϵr∗≤12(α1+1)×10−(n−1)\epsilon_r^*\leq \frac{1}{2(\alpha_1+1)}\times 10^{-(n-1)} ϵr∗≤2(α1+1)1×10−(n−1)
那么近似数x∗x^*x∗至少有n位有效数字。

误差的传播

1. 基本四则运算结果的误差限

设有两个近似数x∗,y∗x^*,y^*x∗,y∗和精确数x,yx,yx,y。x∗,y∗x^*,y^*x∗,y∗的误差限为
ϵ∗(x∗),ϵ∗(y∗)\epsilon^*(x^*),\epsilon^*(y^*)ϵ∗(x∗),ϵ∗(y∗)
那么

加减法：x∗±y∗x^*\pm y^*x∗±y∗的误差限
ϵ∗(x∗±y∗)=ϵ∗(x∗)+ϵ∗(y∗)\epsilon^*(x^*\pm y^*)=\epsilon^*(x^*)+\epsilon^*(y^*) ϵ∗(x∗±y∗)=ϵ∗(x∗)+ϵ∗(y∗)
乘法：x∗y∗x^* y^*x∗y∗的误差限
ϵ∗(x∗y∗)=∣y∗∣ϵ∗(x∗)+∣x∗∣ϵ∗(y∗)\epsilon^*(x^* y^*)=|y^*|\epsilon^*(x^*)+|x^*|\epsilon^*(y^*) ϵ∗(x∗y∗)=∣y∗∣ϵ∗(x∗)+∣x∗∣ϵ∗(y∗)
除法：x∗y∗\frac{x^*}{y^*}y∗x∗的误差限
ϵ∗(x∗y∗)=∣y∗∣ϵ∗(x∗)+∣x∗∣ϵ∗(y∗)∣y∗∣2\epsilon^*(\frac{x^*}{y^*})=\frac{|y^*|\epsilon^*(x^*)+|x^*|\epsilon^*(y^*)}{|y^*|^2}ϵ∗(y∗x∗)=∣y∗∣2∣y∗∣ϵ∗(x∗)+∣x∗∣ϵ∗(y∗)

这些误差限都可以用定义结合三角不等式得出。

例9： 已知a=1.21×3.65+9.81a=1.21\times 3.65+9.81a=1.21×3.65+9.81，每个数的绝对误差限都为0.005，求aaa的误差限
ϵ∗(a)=ϵ∗(a=1.21×3.65+9.81)=ϵ∗(1.21×3.65)+ϵ∗(9.81)=1.21×ϵ∗(3.65)+3.65×ϵ∗(1.21)+ϵ∗(9.81)=(1.21+3.65+1)×0.005≈0.0293≤0.3\epsilon^*(a)=\epsilon^*(a=1.21\times 3.65+9.81)\\ =\epsilon^*(1.21\times 3.65)+\epsilon^*(9.81)\\ =1.21\times\epsilon^*(3.65)+3.65\times\epsilon^*(1.21)+\epsilon^*(9.81)\\ =(1.21+3.65+1)\times 0.005\approx 0.0293\leq 0.3 ϵ∗(a)=ϵ∗(a=1.21×3.65+9.81)=ϵ∗(1.21×3.65)+ϵ∗(9.81)=1.21×ϵ∗(3.65)+3.65×ϵ∗(1.21)+ϵ∗(9.81)=(1.21+3.65+1)×0.005≈0.0293≤0.3
所以可取ϵ∗(a)=0.3\epsilon^*(a)=0.3ϵ∗(a)=0.3

2. 基本四则运算结果的相对误差限

设有两个近似数x∗,y∗x^*,y^*x∗,y∗和精确数x,yx,yx,y。x∗,y∗x^*,y^*x∗,y∗的相对误差限为
ϵr∗(x∗),ϵr∗(y∗)\epsilon^*_r(x^*),\epsilon^*_r(y^*)ϵr∗(x∗),ϵr∗(y∗)
那么

加法：x∗+y∗x^*+ y^*x∗+y∗的相对误差限
ϵr∗(x∗+y∗)=max⁡{ϵr∗(x∗),ϵr∗(y∗)}\epsilon^*_r(x^*+ y^*)=\max\{\epsilon^*_r(x^*),\epsilon^*_r (y^*)\} ϵr∗(x∗+y∗)=max{ϵr∗(x∗),ϵr∗(y∗)}
减法：x∗−y∗x^* -y^*x∗−y∗的相对误差限
ϵr∗(x∗−y∗)=ϵ∗(x∗)+ϵ∗(y∗)∣x∗−y∗∣\epsilon^*_r(x^*- y^*)=\frac{\epsilon^*(x^*)+\epsilon^*(y^*)}{|x^*-y^*|} ϵr∗(x∗−y∗)=∣x∗−y∗∣ϵ∗(x∗)+ϵ∗(y∗)
乘、除法：x∗y∗x^* y^*x∗y∗,x∗y∗\frac{x^*}{y^*}y∗x∗的相对误差限
ϵr∗(x∗y∗)=ϵr∗(x∗y∗)=ϵr∗(x∗)+ϵr∗(y∗)\epsilon^*_r(x^* y^*)=\epsilon^*_r(\frac{x^*}{y^*})=\epsilon^*_r(x^*)+\epsilon^*_r(y^*)ϵr∗(x∗y∗)=ϵr∗(y∗x∗)=ϵr∗(x∗)+ϵr∗(y∗)

例10： 求例9的数的相对误差限
ϵr∗(a)=ϵr∗(1.21×3.65+9.81)=max⁡{ϵr∗(1.21×3.65),ϵr∗(9.81)}=max⁡{0.0051.21+0.0053.65,0.0059.81}=0.0055\epsilon^*_r(a)=\epsilon^*_r(1.21\times 3.65+9.81)\\ =\max\{\epsilon^*_r(1.21\times 3.65),\epsilon^*_r(9.81)\}\\ =\max\{\frac{0.005}{1.21}+\frac{0.005}{3.65},\frac{0.005}{9.81}\}\\ =0.0055 ϵr∗(a)=ϵr∗(1.21×3.65+9.81)=max{ϵr∗(1.21×3.65),ϵr∗(9.81)}=max{1.210.005+3.650.005,9.810.005}=0.0055
所以可取ϵr∗(a)=0.0055\epsilon^*_r(a)=0.0055ϵr∗(a)=0.0055

3. 函数运算后的误差限

设准确值xxx有近似值x0x_0x0，用f(x0)f(x_0)f(x0)去近似f(x)f(x)f(x)时，误差可用Taylor展开式得到
e∗(f(x)−f(x0))=e∗(f′(x0)(x−x0))e^*(f(x)-f(x_0))=e^*(f'(x_0)(x-x_0)) e∗(f(x)−f(x0))=e∗(f′(x0)(x−x0))
误差限
ϵ∗(f(x0))=∣f′(x0)∣ϵ∗(x0)\epsilon^*(f(x_0))=|f'(x_0)|\epsilon^*(x_0) ϵ∗(f(x0))=∣f′(x0)∣ϵ∗(x0)

再来看一个特殊的例子

例11： 请问0.25用来表示14\frac{1}{4}41有几位有效数字？
0.25=0.25000…0.25=0.25000\ldots 0.25=0.25000…
所以有无限位有效数字

例12： 已知xxx的相对误差限为α%\alpha\%α%，求xnx^nxn的相对误差限。
ϵr∗(xn)=ϵ∗(xn)∣xn∣=n∣xn−1∣ϵ∗(x)∣xn∣=nϵ∗(x)∣x∣=nϵr∗(x)=nα%\epsilon^*_r(x^n)=\frac{\epsilon^*(x^n)}{|x^n|}=\frac{n|x^{n-1}|\epsilon^*(x)}{|x^n|}=\frac{n\epsilon^*(x)}{|x|}=n\epsilon^*_r(x)=n\alpha\% ϵr∗(xn)=∣xn∣ϵ∗(xn)=∣xn∣n∣xn−1∣ϵ∗(x)=∣x∣nϵ∗(x)=nϵr∗(x)=nα%

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计算方法（一）：误差

四种误差的定义

1. 模型误差：

2. 观测误差：

3. 截断误差：

4. 舍入误差

浮点数

1. 浮点数的表示方法

2. 计算机位数与浮点数

误差、误差限、有效数字

1. 误差的准确定义

1.1 定义用x∗x^x∗表示xxx的准确值的一个近似值，将近似值与准确值之差称之为近似值x∗x^x∗的绝对误差

1.2 误差的性质

2. 误差限

2.1 定义由于准确值xxx可能无法得出，所以我们成误差的绝对值的上界为误差限:

2.2 四舍五入方法

3. 有效数字

3.1 定义：如果近似值x∗x^x∗的误差限是x∗x^x∗的某一位的半个单位，则该位到x∗x^x∗的第一位非零数字一共有nnn位，就称近似值x∗x^x∗有n位有效数字。

3.2 误差限与有效数字的关系

相对误差

1. 相对误差的定义

2. 相对误差限的定义

3. 相对误差与有效数字的关系

误差的传播

1. 基本四则运算结果的误差限

2. 基本四则运算结果的相对误差限

3. 函数运算后的误差限

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2.1 定义 由于准确值xxx可能无法得出，所以我们成误差的绝对值的上界为误差限:

2.2 四舍五入方法

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3.1 定义 ：如果近似值x∗x^*x∗的误差限是x∗x^*x∗的某一位的半个单位，则该位到x∗x^*x∗的第一位非零数字一共有nnn位，就称近似值x∗x^*x∗有n位有效数字。

3.2 误差限与有效数字的关系

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