概率论--Z=X+Y概率密度的推导

提出问题：

Z=X+YZ=X+YZ=X+Y时，fZ(z)=∫−∞+∞f(x,z−x)dxf_Z(z)=\int_{-\infty}^{+\infty}f(x,z-x)dxfZ(z)=∫−∞+∞f(x,z−x)dx是如何推导出的？

背景：

概率论中多维随机变量及其分布板块，若X,YX,YX,Y均为连续型随机变量，FZ(z)F_Z(z)FZ(z)的求法，可用公式

特别的，当Z=X+YZ=X+YZ=X+Y 时，

由此可得Z=X+YZ=X+YZ=X+Y的概率密度为
fZ(z)=∫−∞+∞f(x,z−x)dxf_Z(z)=\int_{-\infty}^{+\infty}f(x,z-x)dx fZ(z)=∫−∞+∞f(x,z−x)dx
……

分析：

“由此可得”，是如何得出的呢？

我们知道，fZ(z)=[FZ(z)]′f_Z(z)=[F_Z(z)]'fZ(z)=[FZ(z)]′，这个问题就转化为
[∫−∞+∞dx∫−∞z−xf(x,y)dy]′=∫−∞+∞f(x,z−x)dx[\int_{-\infty}^{+\infty}dx\int_{-\infty}^{z-x}f(x,y)dy]'=\int_{-\infty}^{+\infty}f(x,z-x)dx [∫−∞+∞dx∫−∞z−xf(x,y)dy]′=∫−∞+∞f(x,z−x)dx
对于二重积分的求导，一般是将内侧的积分单独看成是一个其积分上限的函数，将二重积分化为一重积分，再对该积分求导，但此处外侧积分的上下限是∞\infty∞，不含有xxx，所以需作特殊处理

解答：

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