性质

对于任意两个矩阵 Am×n,Bn×m,Am×n,Bn×m,A_{m \times n}, B_{n \times m},
λn|λIm−AB|=λm|λIn−BA|λn|λIm−AB|=λm|λIn−BA| \lambda ^n \vert \lambda I_m - AB \vert = \lambda ^m \vert \lambda I_n - BA \vert

证明

考虑矩阵：
mnmn\begin{matrix} & & m & & n \end{matrix}
mn(λImλBAλIn)mn(λImAλBλIn)\begin{matrix} m \\ n \end{matrix} \begin{pmatrix} \lambda I_m & A \\ \lambda B & \lambda I_n \end{pmatrix}
则：
(λImλBAλIn)(Im−B0In)=(λIm−AB0AλIn)(λImAλBλIn)(Im0−BIn)=(λIm−ABA0λIn)\begin{pmatrix} \lambda I_m & A \\ \lambda B & \lambda I_n \end{pmatrix} \begin{pmatrix} I_m & \mathbf{0} \\ -B & I_n \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \lambda I_m - AB & A \\ \mathbf{0} & \lambda I_n \end{pmatrix}

(Im−B0In)(λImλBAλIn)=(λIm0AλIn−BA)(Im0−BIn)(λImAλBλIn)=(λImA0λIn−BA)\begin{pmatrix} I_m & \mathbf{0} \\ -B & I_n \end{pmatrix} \begin{pmatrix} \lambda I_m & A \\ \lambda B & \lambda I_n \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \lambda I_m & A \\ \mathbf{0} & \lambda I_n - BA \end{pmatrix}
等式两边取行列式得：
λn|λIm−AB|=λm|λIn−BA|λn|λIm−AB|=λm|λIn−BA| \lambda ^n \vert \lambda I_m - AB \vert = \lambda ^m \vert \lambda I_n - BA \vert

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λ^n |λI−AB|= λ^m |λI−BA|

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