信号公式汇总之拉普拉斯变换

拉普拉斯变换：

正变换：F(s)=L[f(t)]=∫−∞∞f(t)e−stdtF(s)=\mathscr{L}[f(t)]=\int_{-\infty}^{\infty}f(t)e^{-st}dtF(s)=L[f(t)]=∫−∞∞f(t)e−stdt
逆变换：f(t)=L−1[f(s)]=12πj∫σ−j∞σ+j∞F(s)estdsf(t)=\mathscr{L}^{-1}[f(s)]=\frac{ 1 }{2\pi j }\int_{\sigma- j\infty}^{\sigma+j\infty}F(s)e^{s t}dsf(t)=L−1[f(s)]=2πj1∫σ−j∞σ+j∞F(s)estds
其中：s=σ+jω{\sigma+j \omega}σ+jω
常见信号的拉氏变换：

信号类型	拉普拉斯变换
阶跃信号	ε(t)←→1s,Re[s]>0\varepsilon(t)\leftarrow\rightarrow\frac{ 1 }{s } ,Re[s]>0ε(t)←→s1,Re[s]>0
单边指数信号	e−αtε(t)←→1s+α,Re[s]>−αe^{-\alpha t}\varepsilon(t)\leftarrow\rightarrow\frac{1}{s+\alpha},Re[s]>-\alphae−αtε(t)←→s+α1,Re[s]>−α
单边正弦信号	sin⁡ωtε(t)←→ωs2+ω2,Re[s]>0\sin \omega t\varepsilon(t)\leftarrow\rightarrow\frac{ \omega }{s^2+\omega ^2},Re[s]>0sinωtε(t)←→s2+ω2ω,Re[s]>0
单边余弦信号	cos⁡ωtε(t)←→ss2+ω2，Re[s]>0\cos \omega t \varepsilon(t)\leftarrow\rightarrow\frac{ s }{s^2+\omega ^2}， Re[s]>0cosωtε(t)←→s2+ω2s，Re[s]>0
单边衰减正弦	e−αtsin⁡ωtε(t)←→ω(s+α)2+ω2Re[s]>−αe^{-\alpha t} \sin\omega t \varepsilon(t)\leftarrow\rightarrow\frac{ \omega }{(s+\alpha)^2+\omega^2 } Re[s]>-\alphae−αtsinωtε(t)←→(s+α)2+ω2ωRe[s]>−α
t的正幂信号	tnε(t)←→n!sn+1,Re[s]>0t^n \varepsilon(t)\leftarrow\rightarrow\frac{n! }{s^{n+1} }, Re[s]>0tnε(t)←→sn+1n!,Re[s]>0
冲激信号	δ(t)←→1,Re[s]>−∞\delta(t)\leftarrow\rightarrow1,Re[s]>-\inftyδ(t)←→1,Re[s]>−∞
	δ′(t)←→s,Re[s]>−∞\delta{\prime}(t)\leftarrow\rightarrow s,Re[s]>-\inftyδ′(t)←→s,Re[s]>−∞
	δ(t−t0)←→e−st0,Re[s]>−∞\delta (t-t_0)\leftarrow\rightarrow e^{-s t_0},Re[s]>-\inftyδ(t−t0)←→e−st0,Re[s]>−∞

拉氏变换性质：
线性：a1f1(t)+a2f2(t)a_1 f_1(t)+a_2 f_2(t)a1f1(t)+a2f2(t)←\leftarrow←→\rightarrow→a1F1(s)+a2F2(s)a_1 F_1(s)+a_2 F_2(s)a1F1(s)+a2F2(s)
时域微分：df(t)dt\frac{d f(t)}{dt }dtdf(t)←\leftarrow←→\rightarrow→sF(s)−f(0−)s F(s)-f(0_-)sF(s)−f(0−)
d2f(t)dt\frac{d^2 f(t)}{dt }dtd2f(t)←\leftarrow←→\rightarrow→s2F(s)−sf(0−)−f′(0−)s^2 F(s)-sf(0_-)-f{\prime}(0_-)s2F(s)−sf(0−)−f′(0−)
dnf(t)dt\frac{d^n f(t)}{dt }dtdnf(t)←\leftarrow←→\rightarrow→snF(s)s^n F(s)snF(s)-sn−1f(0−)s^{n-1}f(0_-)sn−1f(0−)-…-f(n−1)(0−)f^{(n-1)}(0_-)f(n−1)(0−)
时域积分：∫−∞tf(τ)dτ\int_{-\infty}^{t}f(\tau)d\tau∫−∞tf(τ)dτ←\leftarrow←→\rightarrow→F(s)s\frac{F(s)}{s }sF(s)+f(−1)(0−)s\frac{f^{(-1)}(0_-)}{s }sf(−1)(0−)
有始函数：df(t)ε(t)dt\frac{df(t)\varepsilon(t)}{dt }dtdf(t)ε(t)←\leftarrow←→\rightarrow→SF(s)SF(s)SF(s)
∫0−tf(τ)dτ\int_{0_-}^{t}f(\tau)d\tau∫0−tf(τ)dτ←\leftarrow←→\rightarrow→F(s)s\frac{F(s)}{s }sF(s)
=>tε(t)=∫0−tε(τ)dτ=>t \varepsilon(t)=\int_{0_-}^{t}\varepsilon(\tau)d\tau=>tε(t)=∫0−tε(τ)dτ←\leftarrow←→\rightarrow→1s2\frac{1}{s^2 }s21
延时特性(时域平移)：f(t−t0)ε(t−t0)f(t-t_0)\varepsilon(t-t_0)f(t−t0)ε(t−t0)←\leftarrow←→\rightarrow→e−st0F(s),t0>0e^{-s t_0}F(s),t_0>0e−st0F(s),t0>0
S域平移：f(t)e−st0f(t)e^{-s t_0}f(t)e−st0←\leftarrow←→\rightarrow→F(s+s0)F(s+s_0)F(s+s0)
尺度变换：f(at)f(at)f(at)←\leftarrow←→\rightarrow→1aF(sa),(a>0)\frac{1}{a }F(\frac{s}{a }),(a>0)a1F(as),(a>0)
初值定理：f(0+)=lim⁡t→0+f(t)=lim⁡s→∞sF(s)（当F(s)是真分式时成立）f(0^+)=\lim_{t\rightarrow0_+}f(t)=\lim_{s\rightarrow\infty}sF(s) （当F(s)是真分式时成立）f(0+)=limt→0+f(t)=lims→∞sF(s)（当F(s)是真分式时成立）
终值定理：f(∞)=lim⁡t→∞f(t)=lim⁡s→0sF(s)（F(s)极点在复频域左半平面）f(\infty)=\lim_{t\rightarrow\infty}f(t)=\lim_{s\rightarrow 0}sF(s) （F(s)极点在复频域左半平面）f(∞)=limt→∞f(t)=lims→0sF(s)（F(s)极点在复频域左半平面）
卷积定理：时域 f1(t)∗f2(t)f_1(t)*f_2(t)f1(t)∗f2(t)←\leftarrow←→\rightarrow→F1(s).F2(s)F_1(s).F_2(s)F1(s).F2(s)
卷积定理：频域 f1(t).f2(t)f_1(t).f_2(t)f1(t).f2(t)←\leftarrow←→\rightarrow→12πjF1(s)∗F2(s)\frac{1}{2\pi j }F_1(s)*F_2(s)2πj1F1(s)∗F2(s)
复频域微分： −tf(t)-tf(t)−tf(t)←\leftarrow←→\rightarrow→d(F(s)ds\frac{d(F(s)}{ds}dsd(F(s)
复频域微分： f(t)t\frac{f(t)}{t}tf(t)←\leftarrow←→\rightarrow→∫s∞F(η)dη\int_s^{\infty}F(\eta)d\eta∫s∞F(η)dη

序列傅里叶变换（DTFT:discrete time Fourier transform）

正变换： $$
逆变换：
性质：序列位移：
性质：频域位移：
性质：线性加权： DTFT[nx(n)]=j[ddωXe(jω)]DTFT [nx(n)]=j[\frac{d}{d \omega}X e^{(j\omega)}]DTFT[nx(n)]=j[dωdXe(jω)]
性质：序列反褶：DTFT[x(−n)]=Xe(−jω)DTFT [x(-n)]=X e^{(-j\omega)}DTFT[x(−n)]=Xe(−jω)

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