原理探究——空间平滑MUSIC算法

空间平滑MUSIC算法的核心在于：信号相干性与协方差矩阵的联系；同时与矩阵的秩、行列向量间线性相关/无关的联系。

MUSIC算法中阵列接收信号的表达式为：X=AS+N，A为空间阵列流型矩阵，即天线阵列的数学表达；S为空间信号矢量，即信号的数学表达；N为噪声。当信号不相干时，求得X的协方差矩阵为：

此时发现Rs为满秩矩阵，且由于噪声N的存在，Rx也为满秩矩阵。这是因为协方差矩阵Rs中，每一个元素都在利用协方差公式计算不同信号间的相关程度！而当这些信号都是不相干的情况下，协方差矩阵Rs必然满秩。从而使得有噪声的情况下Rx也为满秩矩阵。而在证明了Rx矩阵的共轭转置等于它本身后， Rx同时也为厄米特矩阵。

由于厄米特矩阵有两个性质：1、所有特征值都为实数；2、不同特征值对应的特征向量是正交的。利用这些性质，可将Rx矩阵进行特征分解，通过特征值的属性来对特征向量进行筛选分类，划分出信号子空间与噪声子空间。最终利用两个子空间的正交性构造出谱函数，即可在天线接收的角度范围内进行谱峰搜索，找出各信号的来向角。

讲到这里，再去看空间平滑算法处理相干信号的思路就很清晰透彻了。由于信号之间的相干性，如果直接计算阵列接收信号X(t)的协方差矩阵，会使得公式中的信号源矩阵Rs不再是满秩矩阵。而将Rx矩阵特征分解后划分的噪声子空间，也由于Rs矩阵出现的秩亏损，导致噪声子空间中混入了信号源对应

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