[JZOJ5551] 【NOI2019模拟6.24】旅途【最短路】

Description

给出一个n个点m条边的带边权无向图
定义1到n的K最短路为所有1到n的路径中，路径上的边权前K大和的最小值。

求K=1~n的最短路。
n,m<=3000,边权<=10^9

Solution

首先我们考虑枚举第K大的边，将小于这条边的所有边记为0（相等的话强行给一个顺序）
考虑一个朴素的DPf[i][j][0/1]f[i][j][0/1]f[i][j][0/1]，表示当前到i号点，经过了j条大于枚举这条边的边，是否经过这条边。

直接分层图转移即可。

事实上我们完全不需要记第二维
枚举第K大的边e（可以是0），然后将所有边权赋为max(v−ve,0)max(v-v_e,0)max(v−ve,0)

直接跑一遍最短路，用最后的距离加上ve∗Kv_e*Kve∗K更新所有的答案。
正确性显然，因为原本的答案不会变，而不合法的部分只会更劣。

采用dijkstra，就在O(m2log⁡m)O(m^2\log m)O(m2logm)的时间复杂度解决。

Code

#include <bits/stdc++.h>
#define fo(i,a,b) for(int i=a;i<=b;++i)
#define fod(i,a,b) for(int i=a;i>=b;--i)
const int N=3005;
typedef long long LL;
using namespace std;
int n,m,fs[N],nt[2*N],dt[2*N],pr[2*N],m1,lim;
void link(int x,int y,int z)
{nt[++m1]=fs[x];dt[fs[x]=m1]=y;pr[m1]=z;
}
LL ans[N],dis[N];
bool bz[N];
struct node
{int x;LL v;friend bool operator <(node x,node y){return x.v>y.v;}
};
priority_queue<node> h;
int main()
{cin>>n>>m;memset(ans,107,sizeof(ans));fo(i,1,m) {int x,y,z;scanf("%d%d%d",&x,&y,&z);link(x,y,z),link(y,x,z);}fo(q,1,m+1){lim=(q==m+1)?0:pr[2*q];memset(dis,107,sizeof(dis));memset(bz,0,sizeof(bz));dis[1]=0;while(!h.empty()) h.pop();h.push((node){1,0});fo(t,1,n-1){while(bz[(h.top()).x]) h.pop();int k=(h.top()).x;bz[k]=1,h.pop();for(int i=fs[k];i;i=nt[i]){int p=dt[i];LL c=dis[k]+max(0,pr[i]-lim);if(dis[p]>c) dis[p]=c,h.push((node){p,c});}}fo(i,1,n) ans[i]=min(ans[i],(LL)i*lim+dis[n]);}fod(i,n,1) printf("%lld\n",ans[i]);
}

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