数据结构之时间复杂度的计算

计算过程：

用常数1取代运行时间中的所有加法常数。
在修改后的运行次数函数中，只保留最高阶项。
如果最高阶项存在且不是1，则去除与这个项目相乘的常数。得到的结果就是大O阶。

推导示例

1、常数阶

首先顺序结构的时间复杂度。下面这个算法，是利用高斯定理计算1，2，……n个数的和。

int sum = 0, n = 100; /*执行一次*/
sum = (1 + n) * n / 2; /*执行一次*/
printf("%d",sum); /*执行一次*/

这个算法的运行次数函数是f (n) =3。根据我们推导大0阶的方法，

第一步就是把常数项3 改为1。
在保留最高阶项时发现，它根本没有最高阶项
所以这个算法的时间复杂度为0(1)。

2、线性阶

线性阶的循环结构会复杂很多。要确定某个算法的阶次，我们常常需要确定某个特定语句或某个语句集运行的次数。因此，我们要分析算法的复杂度，关键就是要分析循环结构的运行情况。
下面这段代码，它的循环的时间复杂度为O(n)，因为循环体中的代码须要执行n次。

int i; for(i = 0; i < n; i++){/*时间复杂度为O(1)的程序步骤序列*/}

3、对数阶

今天某位18级同学请教我的这个问题，促使我写了这篇博客。

public class TS {public static void main(String[] args) {int i=1;int n= 100;while(i<n) {i = i*2;}
}

由于每次count乘以2之后，就距离n更近了一分。也就是说，有多少个2相乘后大于n，则会退出循环。由2^x=n 得到x=log⁡2n\log_2 nlog2n。所以这个循环的时间复杂度为O(log⁡2n\log_2 nlog2n)。

4、平方阶

例如：冒泡排序。和下面段程序

int i, j; for(i = 0; i < n; i++){for(j = 0; j < n; j++){/*时间复杂度为O(1)的程序步骤序列*/}}

而对于外层的循环，不过是内部这个时间复杂度为O(n)的语句，再循环n次。所以这段代码的时间复杂度为O(n2n^2n2)。
如果外循环的循环次数改为了m，时间复杂度就变为O(m*n)。
所以我们可以总结得出，循环的时间复杂度等于循环体的复杂度乘以该循环运行的次数。
那么下面这个循环嵌套，它的时间复杂度是多少呢?

int i, j; for(i = 0; i < n; i++){for(j = i; j < n; j++){ /*注意j = i而不是0*//*时间复杂度为O(1)的程序步骤序列*/}}

由于当i=0时，内循环执行了n次，当i = 1时，执行了n-1次，……当i=n-1时，执行了1次。所以总的执行次数为:

n+(n−1)+(n−2)n + (n - 1) + (n - 2)n+(n−1)+(n−2) …… +1+1+1 = n(n+1)2\frac{n(n+1)}{2}2n(n+1) = n22\frac{n^2}{2}2n2 + n2\frac{n}{2}2n

用我们推导大O阶的方法

没有加法常数不予考虑；
只保留最高阶项，因此保留时n22\frac{n^2}{2}2n2;
去除这个项相乘的常数，也就是去除1/2，最终这段代码的时间复杂度为O(n2n^2n2)。

从这个例子，我们也可以得到一个经验，其实理解大0推导不算难，难的是对数列的一些相关运算，这更多的是考察你的数学知识和能力。

4、立方阶

下面例子是一个三重循环嵌套。

int i, j; for(i = 1; i < n; i++)for(j = 1; j < n; j++)for(j = 1; j < n; j++){/*时间复杂度为O(1)的程序步骤序列*/}

5、常见的时间复杂度排序

我们前面已经谈到了。O(1)常数阶、O(logn)对数阶、O(n)线性阶、 O(n2n^2n2)平方阶等，像O(n3n^3n3)，过大的n都会使得结果变得不现实。同样指数阶O(2n2^n2n)和阶乘阶O(n!)等除非是很小的n值，否则哪怕n 只是100，都是噩梦般的运行时间。所以这种不切实际的算法时间复杂度，一般我们都不去讨论。