最大子段和三种算法实现

问题描述

给定由 n 个整数（可能为负整数）组成的序列 a1、a2、……an，求该序列形如
的子段和的最大值。当所有整数均为负整数时定义其最大子段和为 0。依次定义，所求的最优值为

max{

例如：当(a1,a2,a3,a4,a5,a6)=(-2,11,-4,13,-5,-2)时，最大子段和为
=20。

三种算法求解

1、暴力算法

算法分析：

通过阅读了解问题后，可以初步尝试用最简单的方法解决问题，方便发现问题本质。最大子段和的结果很明显是通过：对数组排列组合得出子段和的个数，然后一一对比得出结果。

求子段和的个数需要两个循环：外循环是循环起点，内循环是循环终点。

求子段和对比结果需要一个循环。

三个for循环的时间复杂度是O（n3），然而在第二个for循环求处子段个数时就可以进行子段和比较了，省去最后一个for循环，使得算法时间复杂度为O(n2)。

算法实现：

算法伪代码：

2. 分治算法

算法分析：

可以从数组中间分开，结果要么在左边或右边，要么就在中间。结果在左边和右边的情况好办，那在中间的情况该如何分析呢？因为子段是连续的，所以结果只能从中心向两边扩，采用枚举法，左右走到尽头，结果相加就得到中间的最大解。所以该题采用分治算法的难度就可以解决了。

拆分子数组分别求得的最大子段和为sum1,sum2。时间复杂度为2T(N/2),从中心点向两边找最大的和，找到跨越的最大子段和的时间复杂度为O(n), 所以总体的时间复杂度为：T(n)=2T(n/2)+O(n) = O(nlogn)。

算法实现：

算法伪代码：

3. 动态规划

算法分析：

首先，该问题的解法符合动态规划的思想。

一、子问题重叠：无论问题规模怎么变化，最大子段和的子段都是在数组中。

二、原问题的最优解包含子问题的最优解：通过最简单的方法，我称之为暴力带值。列出小问题规模的结果，通过矩阵a[i]存入数值：

a[i]	-2	11	-4	13	-5	-2

在分治算法中，需要枚举n个数组，那如果从a[0]开始枚举，得到一段子段和是负数，那还需要用到该子段吗？显然不需要，直接从当前元素重新开始。

假定子段终点为a[j]，那么之前的和必定为正且最大，设置b[i]数组记录a[j]结尾的全部子段的和，所以当b[j]>0时，b[j]=b[j-1]+a[j],否则b[j]=a[j]，由此得到b[j]的动态规划递归式：

b[j]=max{b[j-1]+a[j],a[j]}, 1≤j≤n

b	-2	11	7	20	15	13
sum	0	11	7	20	20	20

算法实现：

算法伪代码：

上述算法显然时间复杂度时O(n)，空间复杂度是O(n)。

算法结果

输出结果（取一次）

复杂度分析

三种算法在不同规模下运行时间如下表：

纵坐标单位为(ms)，横坐标单位为(个)。

当问题规模到15000时，暴力算法明显变得笨重；当问题规=规模到达10000000时，分治算法也开始劣于动态规划。

三者的时间复杂度比较：O(n2)>O(nlogn)>O(n)。

源代码

暴力算法：

import java.text.SimpleDateFormat;
import java.util.Date;
import java.util.Random;
import java.util.Scanner;public class ziduanhe1 {public static int []a = new int[1000000];public static void test(int n){random_get(n);int ThisSum,MaxSum=0;for (int i = 0; i < n; i++) {ThisSum = 0;for (int j = i; j < n; j++) {ThisSum+=a[j];if (ThisSum>MaxSum){MaxSum = ThisSum;}}}System.out.print(MaxSum);}public static int random_get(int l){Random r = new Random();int c = 40;for (int i = 0; i < l; i++) {a[i]= r.nextInt(c)%(2*c+1)-c/2;}return 0;}public static void main(String[] args){int n;Scanner sc = new Scanner(System.in);while (sc.hasNext()) {n = sc.nextInt();
//        for (int i = 0; i < n; i++) {//            a[i] = sc.nextInt();
//        }
//        ziduanhe1 t = new ziduanhe1();long startTime = System.currentTimeMillis();SimpleDateFormat df = new SimpleDateFormat("\n" + "yyyy-MM-dd HH:mm:ss");System.out.println(df.format(new Date()));test(n);long endTime = System.currentTimeMillis();System.out.println(df.format(new Date()));System.out.println("\n" + "执行时间" + (endTime - startTime) + "ms");}}
}

分治算法：

import java.text.SimpleDateFormat;
import java.util.*;
public class ziduanhe2
{public static int []a =new int[101000000];public static int maxsum(int l,int r){if(l==r){return a[l];}int mid = (l+r)/2;int lsum = maxsum(l,mid);//左区间int rsum = maxsum(mid+1,r);//右区间int sum1=0,sum2=0;int lefts=0,rights=0;for(int i=mid;i>=l;i--){lefts+=a[i];if(lefts>sum1){sum1=lefts;}}for(int i=mid+1;i<=r;i++){rights+=a[i];if(rights>sum2){sum2=rights;}}int msum=sum1+sum2;return Math.max(Math.max(lsum,rsum),msum);}public static int random_get(int l){Random r = new Random();int c = 40;for (int i = 0; i < l; i++) {a[i]= r.nextInt(c)%(2*c+1)-c/2;}return 0;}public static void main(String[] args){int n;int ans;Scanner in=new Scanner(System.in);while(in.hasNext()){n=in.nextInt();
//            for(int i=1;i<=n;i++){//                a[i]=in.nextInt();
//            }random_get(n);long startTime = System.currentTimeMillis();SimpleDateFormat df = new SimpleDateFormat("\n"+"yyyy-MM-dd HH:mm:ss");System.out.println(df.format(new Date()));ans = maxsum(0,n);if(ans<0){ans=0;}System.out.println(ans);long endTime = System.currentTimeMillis();System.out.println(df.format(new Date()));System.out.println("\n"+"执行时间"+(endTime-startTime)+"ms");}}
}

动态规划：

import java.text.SimpleDateFormat;
import java.util.Date;
import java.util.Random;
import java.util.Scanner;public class ziduanhe3 {public static int []a = new int[101000000];public static int maxSum(int n){random_get(n);
//        for (int i = 0; i < n; i++) {//            System.out.print(a[i]);
//        }int sum = 0;int b = 0;for (int i = 0; i < n; i++) {if (b>0) b+=a[i];else b = a[i];if (sum<b) sum = b;}return sum;}public static int random_get(int l){Random r = new Random();int c = 40;for (int i = 0; i < l; i++) {a[i]= r.nextInt(c)%(2*c+1)-c/2;}return 0;}public static void main(String[] args){Scanner sc = new Scanner(System.in);int n;int ans = 0;System.out.print("请输入元素个数：");while (sc.hasNext()){n =sc.nextInt();
//            for (int i = 0; i < n; i++) {//                a[i] = sc.nextInt();
//            }long startTime = System.currentTimeMillis();SimpleDateFormat df = new SimpleDateFormat("\n"+"yyyy-MM-dd HH:mm:ss");System.out.println(df.format(new Date()));ans = maxSum(n);if (ans<0){ans = 0;}System.out.print("最大子段和：");System.out.print(ans);long endTime = System.currentTimeMillis();System.out.println(df.format(new Date()));System.out.println("\n"+"执行时间"+(endTime-startTime)+"ms");}}
}