【洛谷P3410】拍照题解（最大权闭合子图总结）

题目描述

小B有n个下属，现小B要带着一些下属让别人拍照。

有m个人，每个人都愿意付给小B一定钱让n个人中的一些人进行合影。如果这一些人没带齐那么就不能拍照，小B也不会得到钱。

注意：带下属不是白带的！！！对于每个下属，如果他带了那么小B需要给他一些钱，保证当他拍照时配合。

请问，小B的净收益最多是多少。

输入输出格式

输入格式：

第1行有2个正整数m和n（0<m,n<=100）。接下来的m行，每行是一个要求拍照的人的有关数据。第一个数是他同意支付该合影的费用；接着是该合影需要的若干下属的编号，以一个0作为行的结束标记。最后一行的n个数是带每个下属的费用。

输出格式：

一个数，表示最大收益。小B可以一个人也不带。

题解

　　我们把题目用图的形式表示出来：我们把所有的要求看作是点，每个要求的收益看作是这个点的点权，同理每个人也看作是点，每个人的花费的相反数看作是这个点的点权，然后在每个要求与人之间连接有向边。

　　就可发现，我们所求的其实就是这个图的最大权闭合子图。

　　首先，我们先来解释一下什么叫做闭合图，所谓最大权闭合图指的是对于一个点集，从这个点集中的点出发的所有出边所指向的点也在这个点集中，则这个点集所组成的图就是一个闭合图。举个例子来说：如下图所示，点集{1，2，3，4，5}和点集{1，2，3，4，5，6}所组成的图都是闭合图，而点集{1，2，3，5，6}就不是一个闭合图（6有一条出边指向了4，但是4没在点集中）。而所谓的最大权，就是指的这样的图中点权和最大的。

　　求解最大权的闭合子图我们通常是利用网络流进行求解，我们构造一个超级源点（s），把所有的点权为正的点都与之连边，边的容量为这些点的点权；再构造一个超级汇点（t），把所有的点权为负的点都与之连边，边的容量为点权的相反数，另外，这些点之间原有的边保持不变，边的容量为正无穷。即如下图（黑色为点的编号，红色为权值）：

　　我们来研究以下两个图之间有什么关系：

在第二个图中，关于s-t的最小割是简单割（割边都与S或T相连），显然他不会去割无穷大的边（黑色的边）。
第二个图的关于s-t的每一个简单割产生的两个子图，我们把含有S的称作S图，含有T的称作T图。则S图是闭合子图。

证明：
简单割中不包含无穷大的边（黑色的边），即不包含联通两个图的边（连接在T点上的边除外）。

所以S图中的边所指向的点一定在S图中，即为闭合图。

最小割产生的S图和T图，S图为最大权闭合子图。

证明：

　　因为割集中所有的边，不是连接在s上，就是连接在t上；

　　我们记割集中，所有连接在s上的边的权值和为x1，所有连接在t上的边的权值和为x2，而割集中所有边权值和为X=x1+x2；

　　又，记图S中所有点的权值和为W，记其中正权值之和为w1，负权值之和为 - w2，故W = w1 - w2；

　　而 W + X = w1 - w2 + x1 + x2，由于x2 = w2

　　　　（因为图S中所有负权值的点，必然连接到t点，而图S必然要与t分割开；故割集中，“连接在t点上的边权值和”就是“图S中所有负权值点的权值之和，取负”）

　　因而W + X = w1 + x1；

　　而显然的，w1 + x1是整个图中所有正权值之和，记为SUM；

　　故W = SUM - X，即 “图S中所有点的权值和” = “整个图中所有正权值之和” - “割集中所有边权值和”；

　　然后，因为SUM为定值，只要我们取最小割，则“图S中所有点的权值和”就是最大的，即此时图S为图S为最大权闭合子图。

　　所以最大权闭合子图的点权之和等于收益点权之和减去最小割。

代码

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;int w[105], c[105];
vector <int> G[105];
int n, m, x;
const int inf = 0x7fffffff;class Graph{private :int cnt;int Head[205], Next[100005], W[100005], To[100005];int Deep[205], cur[205];public :int s, t, n;void init(){cnt = -1;memset(Head, -1, sizeof(Head));memset(Next, -1, sizeof(Next));}void _Add(int u, int v, int c){Next[++ cnt] = Head[u];Head[u] = cnt;W[cnt] = c;To[cnt] = v; }void Add_edge(int x, int y, int w){_Add(x, y, w);_Add(y, x, 0);}int Dfs(int u, int flow){if(u == t)    return flow;for(int & i = cur[u]; i != -1; i = Next[i]){if(Deep[To[i]] == Deep[u] + 1 && W[i] != 0){int di = Dfs(To[i], min(flow, W[i]));if(di > 0){W[i] -= di;W[i ^ 1] += di;return di;}}}return 0;}int Bfs(){queue <int> q;for(; !q.empty();)    q.pop();memset(Deep, 0, sizeof(Deep));Deep[s] = 1; q.push(s);for(; !q.empty();){int u = q.front(), v; q.pop();for(int i = Head[u]; i != -1; i = Next[i])if(!Deep[v = To[i]] && W[i]){Deep[v] = Deep[u] + 1;q.push(v);}} return Deep[t] > 0 ? 1 : 0;}int Dinic(){int ans;for(;Bfs();){for(int i = 1; i <= n; ++ i)    cur[i] = Head[i];int d;for(;d = Dfs(s, inf);)    ans += d;}return ans;}
};Graph Map;
int Num = 0;
int n1[105], n2[105];void Make_picture(){Map.s = ++ Num;for(int i = 1; i <= n; ++ i){n1[i] = ++ Num;Map.Add_edge(Map.s, Num, w[i]);}for(int i = 1; i <= m; ++ i) n2[i] = ++ Num;Map.n = Map.t = ++ Num;for(int i = 1; i <= m; ++ i) Map.Add_edge(n2[i], Map.t, c[i]);for(int i = 1; i <= n; ++ i)for(int j = 0; j < G[i].size(); ++ j)Map.Add_edge(n1[i], n2[G[i][j]], inf);return ;}
int sum = 0;
int main()
{scanf("%d%d", &n, &m);for(int i = 1; i <= n; ++ i){scanf("%d", &w[i]);sum += w[i];for(;;){scanf("%d", &x);if(!x) break;G[i].push_back(x);}}for(int i = 1; i <= m; ++ i)    scanf("%d", &c[i]);Map.init();Make_picture();printf("%d\n", sum - Map.Dinic());return 0;
}

参考资料

[1]Dilthey's Blog:最大权闭合子图-[求最大点权的闭合子图]

[2]洛谷【P3410】拍照

转载于:https://www.cnblogs.com/2020pengxiyue/p/9463055.html