最短路径Shortest Path algorithm
最短路径问题:
如果从图中某一顶点(称为端点)到达另一顶点(称为终点)的路径可能不止一条,如何找到一条路径使得沿此路径上各边上的权值总和达到最小。
(1)Dijkstra 算法 (2) Floyd 算法
1、边上权值非负情形的单源最短路径问题
为求得这些最短路径,Dijkstra提出按路径长度的递增次序,逐步产生最短路径的算法。首先求出长度最短的一条路径,在参照它求出长度次短的一条路径,以此类推,直到从顶点v到其他各顶点的最短路径全部求出为止。
1)算法思想:设G=(V,E)是一个带权有向图,把图中顶点集合V分成两组,第一组为已求出最短路径的顶点集合(用S表示,初始时S中只有一个源点,以后每求得一条最短路径 , 就将加入到集合S中,直到全部顶点都加入到S中,算法就结束了),第二组为其余未确定最短路径的顶点集合(用U表示),按最短路径长度的递增次序依次把第二组的顶点加入S中。在加入的过程中,总保持从源点v到S中各顶点的最短路径长度不大于从源点v到U中任何顶点的最短路径长度。此外,每个顶点对应一个距离,S中的顶点的距离就是从v到此顶点的最短路径长度,U中的顶点的距离,是从v到此顶点只包括S中的顶点为中间顶点的当前最短路径长度。
引入辅助数组dist。它的每一个分量dist[i]表示当前找到的从源点v0到终点vi的最短路径长度。
初始状态:
若从源点v0到顶点有边,则dist[i]为该边上的权值;
若从源点v0到顶点vi无边,则dist[i]为无穷。
2)算法步骤:
a.初始时,S只包含源点,即S={v},v的距离为0。U包含除v外的其他顶点,即:U={其余顶点},若v与U中顶点u有边,则<u,v>正常有权值,若u不是v的出边邻接点,则<u,v>权值为∞。
dtst[j]=Edge[0][j], j=1,2 ,..., n-1;
b.从U中选取一个距离v最小的顶点k,把k,加入S中(该选定的距离就是v到k的最短路径长度)。
dist[k]=min{dist[i]}
c.修改以k为新考虑的中间点,修改U中各顶点的距离;若从源点v到顶点u的距离(经过顶点k)比原来距离(不经过顶点k)短,则修改顶点u的距离值,修改后的距离值的顶点k的距离加上边上的权。
d.重复步骤b和c直到所有顶点都包含在S中。
void ShortestPath(MTGraph G, int v)
{//MTGraph是一个n顶点的带权有向图EdgeData dist[G.n]; //最短路径长度数组int path[G.n]; //最短路径数组int S[G.n]; //最短路径顶点集合for(int i=0;i<n;i++){dist[i]=G.Edge[v][i]; //dist 数组初始化S[i]=0; //集合S初始化if(i!=v && dist[i]<MaxValue)path[i]=v;else path[i]=-1; //path数组初始化 }//顶点v加入顶点集合S[v]=1;dist[v]=0;//扩充集合Sfor(int i=0;i<n-1;i++){double min = MaxValue;int u=v;for(int j=0;j<n;j++)if(!S[j] && dist[j] < min){u=j;min=dist[j];}S[u]=1; //将顶点u加入集合Sfor(int w=0;w<n;w++) //修改if(!S[w] && G.Edge[u][w] < MaxValue && dist[u]+G.Edge[u][w] < dist[w]){dist[w]=dist[u]+G.Edge[u][w];path[w]=u;}}//打印各顶点的最短路径:路径逆向输出for(int i=0;i<G.n;i++){cout<<endl;cout<<"Distence:"<<dist[i]<<"Path:"<<i;int pre = path[i];while(pre!=v){cout<<","<<pre;pre=path[pre];}}
}
时间复杂度为O(n^2)
(2) Floyd-Warshall算法
算法思想:
对于顶点i和j:
首先:
考虑从i到j 是否有以顶点1为中间点的路径: i, 1, j, 即考虑图中是否有边<i, 1>和<1, j>,若有,则新路径i,1,j的长度是C[i][1]+C[1][j],比较路径i, j和i,1,j的长度,并以较短者为当前所求得的最短路径。该路径是中间点序号不大于1的最短路径。
其次:
考虑,从i到j是否包含顶点2为中间点的路径,若没有,则从i到j 的最短路径任然是第一步中求出的,若有,则 i, ... , 2, ... , j可分解成两条路径 i,... , 2和2,... , j, 相加比较,取最短者为当前求得的从i到j的中间点序号不大于2的最短路径。
以此类推。。。
算法的基本思想是:
从最初的邻接矩阵A0开始,递推地生成矩阵序列A1,A2,。。。,An
若要求的最短路径本身,还必须要设置一个路径矩阵P[n][n],在第k次迭代中求得的path[i][j],是从i到j的中间点序号不大于k的最短路径上顶点i的后继顶点。算法结束时,由path[i][j]的值就可以得到从i到j的最短路径上的各个顶点。
计算A矩阵序列方法:十字交叉法
http://blog.csdn.net/winbobob/article/details/38272679
转载于:https://www.cnblogs.com/KennyRom/p/6136006.html
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