概率论考研笔记（三）

随机向量：

概率论考研笔记（三）：随机向量
- 随机向量相关概念和性质：
- 常见二维离散型随机向量的分布：
- 常见二维连续型随机向量的分布：
- 二维离散型随机向量函数的分布：
- 二维连续型随机向量函数的分布：
- 二维离散型随机向量的条件分布：
- 二维连续型随机向量的条件分布：
- 二维离散型随机向量函数的期望：
- 二维连续型随机向量函数的期望：

概率论考研笔记（三）：随机向量

随机向量相关概念和性质：

概念	释义	性质
n维随机向量	若随机变量X1,X2,...,XnX_1,X_2,...,X_nX1,X2,...,Xn定义在同一个样本空间Ω\OmegaΩ上，则称(X1,X2,...,Xn)(X_1,X_2,...,X_n)(X1,X2,...,Xn)为一个n维随机向量	分为离散型和连续型两种；有时用黑体X,Y等表示n维随机向量；性质可由维度推广，故仅需研究二维即可
联合分布律	设离散型随机向量(X,Y)(X,Y)(X,Y)的所有可能取值为(xi,yj)(x_i,y_j)(xi,yj)，则称P(X=xi,Y=yj)=pijP(X = x_i,Y = y_j) = p_{ij}P(X=xi,Y=yj)=pij为随机向量(X,Y)(X,Y)(X,Y)的联合分布律	①pij≥0p_{ij} \geq 0pij≥0； ②∑i=1∞∑j=1∞pij=1\sum_{i=1}^{\infty}\sum_{j=1}^{\infty} p_{ij} = 1∑i=1∞∑j=1∞pij=1； ③联合分布律可以有列联表表示； ④当X和Y相互独立时：P(X=xi,Y=yj)=P(X=xi)P(Y=yj),即pij=pi⋅p⋅jP(X = x_i,Y = y_j) = P(X=x_i)P(Y=y_j),即p_{ij} = p_{i\cdot}p_{\cdot j}P(X=xi,Y=yj)=P(X=xi)P(Y=yj),即pij=pi⋅p⋅j
边缘分布律	设离散型随机向量(X,Y)(X,Y)(X,Y)的联合分布律为P(X=xi,Y=yj)=pijP(X = x_i,Y = y_j) = p_{ij}P(X=xi,Y=yj)=pij，则称P(X=xi)=∑j=1∞pij=pi⋅P(X = x_i) = \sum_{j=1}^{\infty}p_{ij} = p_{i\cdot}P(X=xi)=∑j=1∞pij=pi⋅和P(Y=yj)=∑i=1∞pij=p⋅jP(Y = y_j) = \sum_{i=1}^{\infty}p_{ij} = p_{\cdot j}P(Y=yj)=∑i=1∞pij=p⋅j为其边缘分布律	可以由联合分布律的列联表的同一行/同一列的概率相加得到边缘分布律
联合分布函数F(x,y)F(x,y)F(x,y)	对于任意实数x,y，称二元函数F(x,y)=P(X≤x,Y≤y)F(x,y) = P(X \leq x, Y \leq y)F(x,y)=P(X≤x,Y≤y)为随机向量(X,Y)(X,Y)(X,Y)的联合分布函数	与随机变量分布函数一样，满足①单调不减性、②0≤F(x,y)≤10\leq F(x,y) \leq 10≤F(x,y)≤1、③右连续； ④对于任意实数x1≤x2x_1\leq x_2x1≤x2和y1≤y2y_1\leq y_2y1≤y2，有：F(x1,y1)+F(x2,y2)≥F(x1,y2)+F(x2,y1)F(x_1,y_1)+F(x_2,y_2) \geq F(x_1,y_2) + F(x_2,y_1)F(x1,y1)+F(x2,y2)≥F(x1,y2)+F(x2,y1) => ②、③、④为充要条件； ⑤当X和Y相互独立时：F(x,y)=FX(x)FY(y)F(x,y) = F_X(x)F_Y(y)F(x,y)=FX(x)FY(y)
边缘分布函数	由随机向量(X,Y)(X,Y)(X,Y)的联合分布函数F(x,y)F(x,y)F(x,y)可以得到各分量X和Y的分布函数FX(x)和FY(y)F_X(x)和F_Y(y)FX(x)和FY(y)，称其为(X,Y)(X,Y)(X,Y)的边缘分布函数	FX(x)=F(x,+∞)F_X(x) = F(x,+\infty)FX(x)=F(x,+∞) FY(y)=F(+∞,y)F_Y(y) = F(+\infty,y)FY(y)=F(+∞,y)
联合概率密度f(x,y)f(x,y)f(x,y)	设二维随机变量(X,Y)(X,Y)(X,Y)的分布函数为F(x,y)F(x,y)F(x,y)，若存在非负可积二元函数f(x,y)f(x,y)f(x,y)使得对于任意实数x,y，有：F(x,y)=∫−∞x∫−∞yf(u,v)dudvF(x,y) = \int_{-\infty}^{x}\int_{-\infty}^{y}f(u,v)dudvF(x,y)=∫−∞x∫−∞yf(u,v)dudv，则称(X,Y)(X,Y)(X,Y)为二维连续型随机变量，且其中的f(x,y)f(x,y)f(x,y)为(X,Y)(X,Y)(X,Y)的联合概率密度	①f(x,y)≥0f(x,y) \geq 0f(x,y)≥0； ②∫−∞+∞∫−∞+∞f(x,y)dxdy=1\int_{-\infty}^{+\infty}\int_{-\infty}^{+\infty}f(x,y)dxdy = 1∫−∞+∞∫−∞+∞f(x,y)dxdy=1; ③P((X,Y)∈D)=∬Df(x,y)dxdyP((X,Y) \in D) = \iint_{D}f(x,y)dxdyP((X,Y)∈D)=∬Df(x,y)dxdy; ④当X和Y相互独立时：f(x,y)=fX(x)fY(y)f(x,y) = f_X(x)f_Y(y)f(x,y)=fX(x)fY(y); ⑤f(x,y)=∂2F(x,y)∂x∂yf(x,y) = \cfrac{\partial^2 F(x,y)}{\partial x\partial y}f(x,y)=∂x∂y∂2F(x,y);
边缘概率密度	由连续型随机向量(X,Y)(X,Y)(X,Y)的联合概率密度f(x,y)f(x,y)f(x,y)可以得到各分量X和Y的概率密度fX(x)和fY(y)f_X(x)和f_Y(y)fX(x)和fY(y)，称其为(X,Y)(X,Y)(X,Y)的边缘概率密度	连续型随机向量各分量也是连续型的随机变量，反之不一定成立； fX(x)=∫−∞+∞f(x,y)dyf_X(x) = \int_{-\infty}^{+\infty}f(x,y)dyfX(x)=∫−∞+∞f(x,y)dy fY(y)=∫−∞+∞f(x,y)dxf_Y(y) = \int_{-\infty}^{+\infty}f(x,y)dxfY(y)=∫−∞+∞f(x,y)dx

常见二维离散型随机向量的分布：

分布名称	参数	分布律	期望	方差	随机试验模型 / 性质
多项分布MMM	n,p1,p2n,p_1,p_2n,p1,p2	P(X1=k1,X2=k2)=n!k1!k2!k3!p1k1p2k2p3k3P(X_1=k_1,X_2=k_2) = \frac{n!}{k_1!k_2!k_3!}p_1^{k_1}p2^{k_2}p_3^{k_3}P(X1=k1,X2=k2)=k1!k2!k3!n!p1k1p2k2p3k3，其中：k3=n−k1−k2,p3=1−p1−p2k_3 = n-k_1-k_2,p_3=1-p_1-p_2k3=n−k1−k2,p3=1−p1−p2	略	略	二项分布的推广，即在nnn重伯努利试验中每次均有三种可能出现的结果A1,A2,A3A_1,A_2,A_3A1,A2,A3
多元超几何分布HHH	n,N,N1,N2n,N,N_1,N_2n,N,N1,N2	P(X1=k1,X2=k2)=CN1k1CN2k2CN3k3CNnP(X_1=k_1,X_2=k_2) = \frac{C_{N_1}^{k_1}C_{N_2}^{k_2}C_{N_3}^{k_3}}{C_N^{n}}P(X1=k1,X2=k2)=CNnCN1k1CN2k2CN3k3，其中：k3=n−k1−k2,N3=N−N1−N2k_3 = n-k_1-k_2,N_3=N-N_1-N_2k3=n−k1−k2,N3=N−N1−N2	略	略	超几何分布的直接推广

常见二维连续型随机向量的分布：

分布名称	参数	概率密度	期望	方差	随机试验模型 / 性质
平面上的均匀分布UUU	a,b,c,da,b,c,da,b,c,d	f(x,y)={1S(x,y)∈G0othersf(x,y) = \begin{cases}\cfrac{1}{S}&(x,y)\in G\\0& others\end{cases}f(x,y)=⎩⎨⎧S10(x,y)∈Gothers	略	略	数轴上均匀分布的直接推广
二元正态分布NNN	μ1,μ2,σ12,σ22,ρ\mu_1,\mu_2,\sigma_1^2,\sigma_2^2,\rhoμ1,μ2,σ12,σ22,ρ	f(x,y)=12πσ1σ21−ρ2e−12(1−ρ2)tt=[(x−μ1)2σ12+(y−μ2)2σ22−2ρ(x−μ1)(y−μ2)σ1σ2]f(x,y)=\frac{1}{2\pi\sigma_1\sigma_2\sqrt{1-\rho^2}}e^{\frac{-1}{2(1-\rho^2)}t}\\t = [\frac{(x-\mu_1)^2}{\sigma_1^2}+\frac{(y-\mu_2)^2}{\sigma_2^2}-2\rho\frac{(x-\mu_1)(y-\mu_2)}{\sigma_1\sigma_2}]f(x,y)=2πσ1σ21−ρ21e2(1−ρ2)−1tt=[σ12(x−μ1)2+σ22(y−μ2)2−2ρσ1σ2(x−μ1)(y−μ2)]	略	略	正态分布的直接推广，其中ρ\rhoρ为X1,X2X_1,X_2X1,X2的相关系数; 二维正态随机变量的分量X，Y相互独立的充要条件为ρ=0\rho=0ρ=0，即X，Y不相关

二维离散型随机向量函数的分布：

设(X,Y)(X,Y)(X,Y)为二维离散型随机向量，且有联合分布律：P(X=xi,Y=yj)=pijP(X = x_i,Y = y_j) = p_{ij}P(X=xi,Y=yj)=pij，则若Z=g(X,Y)Z = g(X,Y)Z=g(X,Y)是离散型随机变量，则其分布律可表示为：
P(Z=k)=P(g(X,Y)=k)=∑g(xi,yj)=kpijP(Z = k) = P(g(X,Y) = k) = \sum\limits_{g(x_i,y_j) = k}p_{ij}P(Z=k)=P(g(X,Y)=k)=g(xi,yj)=k∑pij

特殊地，
① 当g(X,Y)=X+Yg(X,Y) = X+Yg(X,Y)=X+Y时，有卷积公式：
P(Z=k)=∑i=0kP(X=i,Y=k−i)P(Z = k) =\sum\limits_{i=0}^k P(X=i,Y=k-i)P(Z=k)=i=0∑kP(X=i,Y=k−i)

② 当g(X,Y)=max⁡{X,Y}g(X,Y) = \max\{X,Y\}g(X,Y)=max{X,Y}，有：
P(Z=k)=P(X=k,Y=k)+P(X=k,⋃j=0k−1Y=j)+P(Y=k,⋃j=0k−1X=j)P(Z=k) = P(X=k,Y=k)+P(X=k,\bigcup\limits_{j=0}^{k-1} Y=j)+P(Y=k,\bigcup\limits_{j=0}^{k-1} X=j)P(Z=k)=P(X=k,Y=k)+P(X=k,j=0⋃k−1Y=j)+P(Y=k,j=0⋃k−1X=j)

② 当g(X,Y)=min⁡{X,Y}g(X,Y) = \min\{X,Y\}g(X,Y)=min{X,Y}，有：
P(Z=k)=P(X=k,Y=k)+P(X=k,⋃j>kY=j)+P(Y=k,⋃j>kX=j)P(Z=k) = P(X=k,Y=k)+P(X=k,\bigcup\limits_{j>k}Y=j)+P(Y=k,\bigcup\limits_{j>k} X=j)P(Z=k)=P(X=k,Y=k)+P(X=k,j>k⋃Y=j)+P(Y=k,j>k⋃X=j)

二维连续型随机向量函数的分布：

设(X,Y)(X,Y)(X,Y)为二维连续型随机向量，且有联合概率密度f(x,y)f(x,y)f(x,y)，则若Z=g(X,Y)Z = g(X,Y)Z=g(X,Y)是连续型随机变量，则其概率密度可表示为：
fZ(z)=[FZ(z)]′=[P(Z≤z)]′=[P(g(X,Y))≤z]′=ddz∬g(x,y)≤zf(x,y)dxdyf_Z(z) = [F_Z(z)]' = [P(Z \leq z)]' = [P(g(X,Y))\leq z]' = \frac{d}{dz} \iint\limits_{g(x,y)\leq z}f(x,y)dxdyfZ(z)=[FZ(z)]′=[P(Z≤z)]′=[P(g(X,Y))≤z]′=dzdg(x,y)≤z∬f(x,y)dxdy

特殊地，
① 若Z=g(X,Y)Z=g(X,Y)Z=g(X,Y)容易推得：X=hX(Y,Z)X = h_X(Y,Z)X=hX(Y,Z)或Y=hY(X,Z)Y=h_Y(X,Z)Y=hY(X,Z)，则可利用雅克比行列式换元得到如下公式：
fZ(z)=∣∂x∂z∣∫−∞+∞f(hX,y)dy=∣∂y∂z∣∫−∞+∞f(x,hY)dxf_Z(z) = |\cfrac{\partial x}{\partial z}|\int_{-\infty}^{+\infty}f(h_X,y)dy= |\cfrac{\partial y}{\partial z}|\int_{-\infty}^{+\infty}f(x,h_Y)dxfZ(z)=∣∂z∂x∣∫−∞+∞f(hX,y)dy=∣∂z∂y∣∫−∞+∞f(x,hY)dx
常见的有：

当g(X,Y)=X+Yg(X,Y) = X+Yg(X,Y)=X+Y时，有卷积公式：
fZ(z)=∫−∞+∞f(z−y,y)dy=∫−∞+∞f(x,z−x)dxf_Z(z) = \int_{-\infty}^{+\infty}f(z-y,y)dy= \int_{-\infty}^{+\infty}f(x,z-x)dxfZ(z)=∫−∞+∞f(z−y,y)dy=∫−∞+∞f(x,z−x)dx
当g(X,Y)=XYg(X,Y)=XYg(X,Y)=XY时，有公式：
fZ(z)=1∣y∣∫−∞+∞f(z/y,y)dy=1∣x∣∫−∞+∞f(x,z/x)dxf_Z(z) = \cfrac{1}{|y|}\int_{-\infty}^{+\infty}f(z/y,y)dy= \cfrac{1}{|x|}\int_{-\infty}^{+\infty}f(x,z/x)dxfZ(z)=∣y∣1∫−∞+∞f(z/y,y)dy=∣x∣1∫−∞+∞f(x,z/x)dx
当g(X,Y)=X/Yg(X,Y)=X/Yg(X,Y)=X/Y时，有公式：
fZ(z)=∣y∣∫−∞+∞f(yz,y)dy=∣x∣z2∫−∞+∞f(x,x/z)dxf_Z(z) = |y|\int_{-\infty}^{+\infty}f(yz,y)dy= \cfrac{|x|}{z^2}\int_{-\infty}^{+\infty}f(x,x/z)dxfZ(z)=∣y∣∫−∞+∞f(yz,y)dy=z2∣x∣∫−∞+∞f(x,x/z)dx

② 当g(X,Y)=max⁡{X,Y}g(X,Y) = \max\{X,Y\}g(X,Y)=max{X,Y}，且X,Y相互独立时，有：
FZ(z)=P(Z≤z)=P(max⁡{X,Y}≤z)=P(X≤z)P(Y≤z)=FX(z)FY(z)F_Z(z) = P(Z\le z)=P(\max\{X,Y\} \le z) = P(X\le z)P(Y\le z)=F_X(z)F_Y(z)FZ(z)=P(Z≤z)=P(max{X,Y}≤z)=P(X≤z)P(Y≤z)=FX(z)FY(z)

③ 当g(X,Y)=min⁡{X,Y}g(X,Y) = \min\{X,Y\}g(X,Y)=min{X,Y}，且X,Y相互独立时，有：
FZ(z)=P(Z≤z)=P(min⁡{X,Y}≤z)=1−P(min⁡{X,Y}>z)=1−P(X>z)P(Y>z)=1−[1−FX(z)][1−FY(z)]F_Z(z) = P(Z\le z)=P(\min\{X,Y\} \le z) = 1-P(\min\{X,Y\} > z) = 1 - P(X>z)P(Y> z)=1-[1-F_X(z)][1-F_Y(z)]FZ(z)=P(Z≤z)=P(min{X,Y}≤z)=1−P(min{X,Y}>z)=1−P(X>z)P(Y>z)=1−[1−FX(z)][1−FY(z)]

二维离散型随机向量的条件分布：

若(X,Y)(X,Y)(X,Y)是二维离散型随机向量，且有分布律：P(X=xi,Y=yj)=pijP(X = x_i,Y = y_j) = p_{ij}P(X=xi,Y=yj)=pij，
则在X=xiX = x_iX=xi的条件下，Y的条件分布律为：

Y∥X=xiY\\|X=x_iY∥X=xi	y1y_1y1	y2y_2y2	…	yjy_jyj	…
PPP	pi1/pi⋅p_{i1}/p_{i\cdot}pi1/pi⋅	pi2/pi⋅p_{i2}/p_{i\cdot}pi2/pi⋅	…	pij/pi⋅p_{ij}/p_{i\cdot}pij/pi⋅	…

XXX的条件分布律同理可得；

二维连续型随机向量的条件分布：

若(X,Y)(X,Y)(X,Y)是二维连续型随机向量，且有联合概率密度f(x,y)f(x,y)f(x,y)
则在X=xiX = x_iX=xi的条件下，Y的条件密度为：fY∥X=xi(y)=f(x,y)fX(xi)f_{Y \| X = x_i }(y) = \frac{f(x,y)}{f_X(x_i)}fY∥X=xi(y)=fX(xi)f(x,y)
XXX的条件密度同理可得；

二维离散型随机向量函数的期望：

对于二维离散型随机向量(X,Y)(X,Y)(X,Y)，若其联合分布律为P(X=xi,Y=yj)=pijP(X=x_i,Y=y_j)=p_{ij}P(X=xi,Y=yj)=pij，则有：

E(Z)=E[g(X,Y)]=∑i∑jg(xi,yj)pijE(Z) = E[g(X,Y)] = \sum\limits_{i}\sum\limits_{j} g(x_i,y_j)p_{ij}E(Z)=E[g(X,Y)]=i∑j∑g(xi,yj)pij
特殊地，
E(X)=∑i∑jxipijE(X)= \sum\limits_{i}\sum\limits_{j} x_ip_{ij}E(X)=i∑j∑xipij
E(Y)=∑i∑jyjpijE(Y)= \sum\limits_{i}\sum\limits_{j} y_jp_{ij}E(Y)=i∑j∑yjpij

二维连续型随机向量函数的期望：

对于二维连续型随机向量(X,Y)(X,Y)(X,Y)，若其联合概率密度为f(x,y)f(x,y)f(x,y)，则有：
E(Z)=E[g(X,Y)]=∫−∞+∞∫−∞+∞g(x,y)f(x,y)dxdyE(Z) = E[g(X,Y)] =\int_{-\infty}^{+\infty}\int_{-\infty}^{+\infty}g(x,y)f(x,y)dxdyE(Z)=E[g(X,Y)]=∫−∞+∞∫−∞+∞g(x,y)f(x,y)dxdy
特殊地，
E(X)=∫−∞+∞∫−∞+∞xf(x,y)dxdyE(X) = \int_{-\infty}^{+\infty}\int_{-\infty}^{+\infty}xf(x,y)dxdyE(X)=∫−∞+∞∫−∞+∞xf(x,y)dxdy
E(Y)=∫−∞+∞∫−∞+∞yf(x,y)dxdyE(Y) = \int_{-\infty}^{+\infty}\int_{-\infty}^{+\infty}yf(x,y)dxdyE(Y)=∫−∞+∞∫−∞+∞yf(x,y)dxdy