Python实现杨辉三角(2种实现方案)
杨辉三角形,又称贾宪三角形、帕斯卡三角形,是二项式系数在三角形中的一种几何排列。
下图显示了杨辉三角的前 7 行:
递归打印杨辉三角
杨辉三角形中的数,正是(x+y)的 N 次方幂展开式各项的系数,下面以递归的方法来打印杨辉三角形。
从杨辉三角形的特点出发,可以总结出:
- 第 x 行有 x 个值(设起始行为第1行)。
- 对于第 x 行的第 y(y>=3)个值,有:当 y=1 或 y=x 时,其值为 1;当 y!=1 且 y!=x 时,其值为第 x-1 行的第 y-1 个值与第 x-1 行的第 y 个值之和。
将这些特点提炼成数学公式,则位于杨辉三角第 x 行第 y 列的值为:
根据上面的分析,完整的程序如下:
def triangles(x, y):if y == 1 or y == x: # y=1或y=x时,函数返回值为1return 1else:z = triangles(x-1, y-1) + triangles(x-1, y) # y为其他值时的递推公式return z
if __name__ == "__main__":n = int(input("请输入杨辉三角的行数:"))for i in range(1, n+1): # 输出n行for j in range(0, n-i+1):print(" ", end=" ")for j in range(1, i+1):# 调用递归函数,输出第i行的第j个值print("%6d " %(triangles(i, j)), end=" ")print()
运行结果为:
请输入杨辉三角的行数:71 1 1 1 2 1 1 3 3 1 1 4 6 4 1 1 5 10 10 5 1 1 6 15 20 15 6 1
二维数组打印杨辉三角形
由于位于杨辉三角形两个腰上的数都为 1,其他位置上的数等于它肩上两个数之和,基于杨辉三角形的这个特点,就可以使用二维数组打印出杨辉三角形。
先定义二维数组 a[N][N],N 为常量,大于要打印的行数 n。再将每行的第一个数和最后一个数赋值为 1,即 a[i][1]=a[i][i]=1。除了每行的第一个数和最后一个数以外,每行上的其他数都为其肩上的两数之和,即 a[i][j]=a[i-1][j-1]+a[i-1][j]。
1) 计算杨辉三角形中的数值并存入二维数组
定义 row 和 column 两个变量分别代表杨辉三角形的行和列,变量 n 表示要打印的行数。
# 计算杨辉三角中的数值并存入二维数组a中
for row in range(1, n+1):# 令每行两边的数为1,循环从1开始,每行第一个数存放在a[row][1]中a[row][1] = a[row][row] = 1
for row in range(3, n+1):for column in range(2, (row-1)+1):# 计算其他位置的值并存入二维数组a[row][column] = a[row-1][column-1] + a[row-1][column]
2) 打印空格
在每行输出之前,先打印空格占位,可使输出更美观。
第 1 行打印 3(n-1) 个空格,第 2 行打印 3(n-2) 个空格.....第 k 行打印 3(n-k)个空格。
for row in range(1, n+1):for k in range(1, (n-row)+1):print(" ", end="")
3) 打印杨辉三角形中的数
输出杨辉三角形每一行之前都先打印空格,之后再使用下面的代码输出每行中的数值。
# 打印杨辉三角形
for row in range(1, n+1):for k in range(1, (n-row)+1):print(" ", end="") # 在每行输出数之前先打印空格占位,使输出更美观# column<=row表示不输出数组中其他的数,只输出所需的数for column in range(1, row+1):print("%6d" %(a[row][column]), end=" ")print() # 当一行输出完以后换行继续下一行的输出
现在我们就需要把刚才的程序进行组合,构成完整的程序:
if __name__ == "__main__":n = 0a = [([0] * 14) for i in range(14)] # 定义一个行为14、列为14的二维数组while n <= 0 or n >= 13: # 控制打印的行数,行数过大会造成显示不规范n = int(input("请输入杨辉三角的行数:"))print("打印 %d 行杨辉三角如下:" %n)# 计算杨辉三角中的数值并存入二维数组a中for row in range(1, n+1):# 令每行两边的数为1,循环从1开始,每行第一个数存放在a[row][1]中a[row][1] = a[row][row] = 1for row in range(3, n+1):for column in range(2, (row-1)+1):# 计算其他位置的值并存入二维数组a[row][column] = a[row-1][column-1] + a[row-1][column]# 打印杨辉三角形for row in range(1, n+1):for k in range(1, (n-row)+1):print(" ", end="") # 在每行输出数之前先打印空格占位,使输出更美观# column<=row表示不输出数组中其他的数,只输出所需的数for column in range(1, row+1):print("%6d" %(a[row][column]), end=" ")print() # 当一行输出完以后换行继续下一行的输出
运行结果为:
请输入杨辉三角的行数:7
打印 7 行杨辉三角如下:11 11 2 11 3 3 11 4 6 4 11 5 10 10 5 11 6 15 20 15 6 1
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