最优化理论与设计——最优化设计的基本概念

文章目录

1. 最优化设计概述
2. 最优化设计的数学模型
- 2.1. 两个引例
- 2.2. 最优化数学模型
- - 2.2.1. 设计变量
  - 2.2.2. 目标函数
  - - 2.2.2.1. 极大化目标与极小化目标
    - 2.2.2.2. 单目标与多目标
    - 2.2.2.3. 等值线、等值面、等值超曲面
  - 2.2.3. 约束条件
3. 最优化问题的几何解释

1. 最优化设计概述

它的基本涵义是在设计或管理工程系统时，如果存在不止一种可行方案，则总希望从一切可行方案中选取一个最佳方案，这一选择过程称为最优化设计或最优化。

优化设计是在20世纪六十年代随计算机技术而发展起来的一门新学科、一种现代设计方法。它以“数学规化论”为理论基础，借助于电子计算机及计算软件，自动化的、迅速的进行探优。也就是说，最优化的目的就是寻求最佳的设计方案。

最优化设计主要解决的问题：

建模
即建立最优化问题的数学模型。应用相关的专业理论，将设计问题用数学的形式进行描述。
解模（主要）
即运用最优化方法借助于计算机求出模型的最优解。分为三步：(1)根据数学模型的数学性态选用合适优化方法；(2)对模型和优化方法进行程序设计和编码、上机调试求解；(3)分析解的现实实用性

2. 最优化设计的数学模型

2.1. 两个引例

最优化设计的数学模型究竟是什么样子的呢，我们先来看两个引例。

引例1
题干：要用薄钢板制造一个体积为5m3m^3m3的无盖货箱。要求其长度不小于4mmm。问：长、宽、高为多少时用料最省?
解：设其长、宽、高分别为x1x_1x1、x2x_2x2、x3x_3x3，用料数为S(x1,x2,x3)S(x_1,x_2,x_3)S(x1,x2,x3)

则有以下数学模型：
min⁡S(x1,x2,x3)=min⁡(x1x2+2(x2x3+x1x3))\min S(x_1,x_2,x_3)=\min \bigl(x_1x_2+2(x_2x_3+x_1x_3)\bigr)minS(x1,x2,x3)=min(x1x2+2(x2x3+x1x3))满足于：x1⩾4x2⩾0x3⩾0x1x2x3=5\begin{aligned} \text{满足于：}x_1 & \geqslant 4 \\ x_2 & \geqslant 0 \\ x_3 & \geqslant 0 \\ x_1x_2x_3 & = 5 \\ \end{aligned}满足于：x1x2x3x1x2x3⩾4⩾0⩾0=5

引例2
题干：某工厂生产甲、乙两种产品，生产每种产品所需的材料、工时、电力、利润以及材料供应量见下表。为使每天可能获得的利润最大，试确定两种产品每天的产量。

产品	材料/kg	工时/h	电力/(kw/h)	利润/元
甲	9	3	4	60
乙	4	10	5	120
供应量	360	300	2000

解：设每天生产甲产品x1x_1x1件，乙产品x2x_2x2件，每天获得的利润用f(x1,x2)f(x_1,x_2)f(x1,x2)表示。则有以下数学模型：max⁡f(x1,x2)=max⁡(60x1+120x2)\max f(x_1,x_2)=\max\bigl(60x_1+120x_2\bigr)maxf(x1,x2)=max(60x1+120x2)满足于：9x1+4x2⩽3603x1+10x2⩽3004x1+5x2⩽2000x1⩾0x2⩾0\begin{aligned} \text{满足于：}9x_1+4x_2 & \leqslant 360 \\ 3x_1+10x_2 & \leqslant 300 \\ 4x_1+5x_2 & \leqslant 2000 \\ x_1 & \geqslant 0 \\ x_2 & \geqslant 0 \\ \end{aligned}满足于：9x1+4x23x1+10x24x1+5x2x1x2⩽360⩽300⩽2000⩾0⩾0

2.2. 最优化数学模型

由此2.1.中两个引例可得最优化数学模型的一种标准形式为：min⁡x∈X→f(X→)\min_{x\in \overrightarrow{X}}f(\overrightarrow{X})x∈Xminf(X)s.t.gu(X→)⩽0u=1,2,...,mhv(X→)=0v=1,2,...,p⩽n\begin{aligned} \text{s.t.}\qquad g_{u}(\overrightarrow{X}) & \leqslant 0\qquad u=1,2,...,m \\ h_{v}(\overrightarrow{X}) & = 0\qquad v=1,2,...,p\leqslant n \\ \end{aligned}s.t.gu(X)hv(X)⩽0u=1,2,...,m=0v=1,2,...,p⩽n

其中，f(X→)f(\overrightarrow{X})f(X)为目标函数，即最优化的目标；X→\overrightarrow{X}X为设计变量向量，即待求解的参数；s.t.\text{s.t.}s.t.是Subject to，即约束条件；gu(X→)g_{u}(\overrightarrow{X})gu(X)表示有uuu个不等式约束；hv(X→)h_{v}(\overrightarrow{X})hv(X)表示有ppp个等式约束，ppp小于xxx的数量（p<np<np<n有多个解，p=np=np=n只有唯一解，p>np>np>n一般情况下无解或者解与p=np=np=n时一致）。

该最优化数学模型可以根据以下两个方面进行数学性态的划分：

若u=0,v=0u=0,v=0u=0,v=0则为无约束优化问题，否则为约束优化问题；
若f(X→)f(\overrightarrow{X})f(X)、gu(X→)g_{u}(\overrightarrow{X})gu(X)、hv(X→)h_{v}(\overrightarrow{X})hv(X)均是线性函数，则为线性规划问题(引例2)，否则为非线性规划问题(引例1)。

2.2.1. 设计变量

一个最优化系统中有很多参数，这些参数大致可以分为两类：

预知参数
又称设计常量，是最优化系统中可事先确定的参数；
设计变量
又称决策变量，是由最优化决定的参数，在优化过程中动态变化。

对于预知参数我们往往不需要花太多精力去关注，甚至大多数时候预知参数在整个优化过程中是一成不变的，例如 引例2 题干中给出的数据。因此我们重点关注设计变量。

设计变量向量表示为：X→={x1,x2,x3,...,xn}T\overrightarrow{X}=\{x_1,x_2,x_3,...,x_n\}^TX={x1,x2,x3,...,xn}T其中X→\overrightarrow{X}X是设计变量向量，其端点表示一个设计点（即一个最优化设计方案），所有设计点的集合称为设计空间；xi,i=1,2,3,...,nx_i,i=1,2,3,...,nxi,i=1,2,3,...,n表示X→\overrightarrow{X}X沿第iii个坐标轴的分量，即一个设计变量；nnn表示设计变量向量的维度，也即设计的自由度。

当我们求解出一个最优设计方案时，这个最优解可以表示为：X→∗={x1∗,x2∗,x3∗,...,xn∗}T\overrightarrow{X}^*=\{x_1^*,x_2^*,x_3^*,...,x_n^*\}^TX∗={x1∗,x2∗,x3∗,...,xn∗}T

如下图所示是设计变量向量的2维和3维表示：

2.2.2. 目标函数

目标函数是指在最优化设计中预期要达到的目标，表示为：f(X→)=f(x1,x2,x3,...,xn)f(\overrightarrow{X})=f(x_1,x_2,x_3,...,x_n)f(X)=f(x1,x2,x3,...,xn)其中，f(X→)f(\overrightarrow{X})f(X)称为目标函数（或评价函数），它是最优化设计预期目标的数学表达式，是设计变量xi,i=1,2,...,nx_i,i=1,2,...,nxi,i=1,2,...,n的函数。

2.2.2.1. 极大化目标与极小化目标

在现实世界中，最优化预期目标通常分为两类：

极大化目标(效果目标)
例如：例如、产值、增益、效益、生产率、可靠性、精度等等；
极小化目标(成本目标)
例如：成本、时间、重量、体积、人力、材料、损耗、误差等等。

极大化目标和极小化目标可以相互转换。设已有目标函数min⁡f(X→)\min f(\overrightarrow{X})minf(X)，若要求max⁡f(X→)\max f(\overrightarrow{X})maxf(X)，则可令：max⁡f(X→)=min⁡[−f(X→)]\max f(\overrightarrow{X})=\min [-f(\overrightarrow{X})]maxf(X)=min[−f(X)]或max⁡f(X→)=min⁡1f(X→)\max f(\overrightarrow{X})=\min \frac{1}{f(\overrightarrow{X})}maxf(X)=minf(X)1

2.2.2.2. 单目标与多目标

有时候我们需要同时优化多个目标，此时的最优化问题就称为多目标优化问题。对于单目标优化问题，计算表达式就是：f(X→)=f(X→)f(\overrightarrow{X})=f(\overrightarrow{X})f(X)=f(X)对于多目标优化问题，其计算表达式为：f(X→)=∑j=1mwjfj(X→),wj=wj1⋅wj2f(\overrightarrow{X})=\sum_{j=1}^{m}w_jf_j(\overrightarrow{X}),\qquad w_j=w_{j1}·w_{j2}f(X)=j=1∑mwjfj(X),wj=wj1⋅wj2其中，wjw_jwj称为加权因子；wj1>0w_{j1}>0wj1>0称为本征因子（权重参数），用来平衡各分目标函数fj(X→)f_j(\overrightarrow{X})fj(X)的重要程度；wj2>0w_{j2}>0wj2>0称为校正因子（归一化参数），用来调节各分目标函数fj(X→)f_j(\overrightarrow{X})fj(X)在数量级上的差别。

2.2.2.3. 等值线、等值面、等值超曲面

为了在高维空间上更方便地求解极值，我们定义了目标函数的等值线(等值面、等值超曲面)，它是具有相等目标函数值的设计点所构成的平面曲线(空间平面或超曲面)，表达为：f(X→)=Ci,i=1,2,...,nf(\overrightarrow{X})=C_i,\qquad i=1,2,...,nf(X)=Ci,i=1,2,...,n

以n=2为例，等值线有如下特殊性质：

等值线表示了f(X→)f(\overrightarrow{X})f(X)值的变化情况（函数的性态）；越内层目标函数值越小（或越大，取决于目标函数的定义）；等值线越稠密目标函数值变化越快，反之越慢；
不同值的等值线、面不相交，否则就是一个混沌系统；
等值线集的中心点即是最优解X→∗\overrightarrow{X}^*X∗。

2.2.3. 约束条件

最优化设计一般都是在有约束的情况下进行的，所谓约束，就是对设计变量的取值加上的限制条件。

约束条件按表达形式可以分为两类：

不等式约束：gu(X→)⩽0,u=1,2,...,mg_u(\overrightarrow{X})\leqslant 0,\qquad u=1,2,...,mgu(X)⩽0,u=1,2,...,m
等式约束：hv((X→)=0,v=1,2,...,p<nh_v((\overrightarrow{X})=0,\qquad v=1,2,...,p<nhv((X)=0,v=1,2,...,p<n

按性质可以分为两类：

性能约束（隐式约束）
即设计变量必须满足的性能要求，例如强度、刚度等等
边界约束（显式约束）
即设计变量的上下限：ai⩽xi⩽bia_i\leqslant x_i\leqslant b_iai⩽xi⩽bi。

直观地说，约束条件的意义在于在平面（空间、超空间）上构造了约束线（或约束面），下面我们用二维图形来展示约束条件的几何意义。

对于不等式约束条件 gu(X→)⩽0g_u(\overrightarrow{X})\leqslant 0gu(X)⩽0，有如下几何意义。下图中，gu(X→)⩽0g_u(\overrightarrow{X})\leqslant 0gu(X)⩽0以及gu(X→)=0g_u(\overrightarrow{X})= 0gu(X)=0处是可行域，gu(X→)⩾0g_u(\overrightarrow{X})\geqslant 0gu(X)⩾0处为非可行域，可行域内的所有独立点称为可行点，代表最优化模型的一个解，而gu(X→)=0g_u(\overrightarrow{X})= 0gu(X)=0这条约束线上的就是最优化模型的最优解。

当有多个不等式约束条件时，就会有如下情况。下图中，最优化模型的解都在可行域DDD内，四条约束线上的解就是最优化模型的最优解。

当不等式约束与等式约束相组合时，有如下情况。只有在可行域DDD内，且在约束线h1(X→)=0h_1(\overrightarrow{X})=0h1(X)=0上的解才是最优化模型的解。只有g1(X→)=0g_1(\overrightarrow{X})=0g1(X)=0与h1(X→)=0h_1(\overrightarrow{X})=0h1(X)=0，以及g2(X→)=0g_2(\overrightarrow{X})=0g2(X)=0与h1(X→)=0h_1(\overrightarrow{X})=0h1(X)=0相交的点才是最优化模型的最优解。

假如此时有两个等式约束，那就会有如下情况。如下图所示，只有可行域D内的黑点是最优化系统的唯一可行解，它可以称为最优解因为它是唯一的没有其他更好的解了，也可以说它不是最优解因为它不满足任何一个不等式约束。

3. 最优化问题的几何解释

在2.2.3. 约束条件中就是用来几何图解来理解二维最优化问题。虽然几何图解法基本上没有什么实用价值，但可由直观的二维图解建立优化求解的基本概念，对掌握最优解的存在和规律，后面的多维问题的学习打下基础。

我们再用一个几何解释的例子来说明约束优化和无约束优化的区别：
设有如下最优化模型：min⁡f(X→)=x12+x22−4x1+4\min f(\overrightarrow{X})=x_1^2+x_2^2-4x_1+4minf(X)=x12+x22−4x1+4s.t.g1(X→)=x2−x1⩽0g2(X→)=x12−x2+1⩽0g3(X→)=−x1⩽0\begin{aligned} \text{s.t.}\qquad g_1(\overrightarrow{X})& =x_2-x_1 \leqslant 0 \\ g_2(\overrightarrow{X})& =x_1^2-x_2+1 \leqslant 0 \\ g_3(\overrightarrow{X})& =-x_1 \leqslant 0 \\ \end{aligned}s.t.g1(X)g2(X)g3(X)=x2−x1⩽0=x12−x2+1⩽0=−x1⩽0

解：易发现，f(X→)f(\overrightarrow{X})f(X)是一个圆，于是将它转换为：min⁡f(X→)=x22+(x1−2)2\min f(\overrightarrow{X})=x_2^2+(x_1-2)^2minf(X)=x22+(x1−2)2若此时不关注约束条件，即现在为一个无约束优化问题。那么很显然当x1=2x_1=2x1=2、x2=0x_2=0x2=0时有最优解min⁡f(X→)=0\min f(\overrightarrow{X})=0minf(X)=0。

若此时关注约束条件，则约束条件在二维平面中可表示为下面的右图，即限定可行域(红色)的情况下，选取离与无约束最优解最近的解：