课本内容

以下内容来自郑君里《信号与系统》第三版上册 p61：

（1）自由响应和零输入响应都满足齐次方程的解。
（2）然而，它们的系数完全不同。零输入响应的系数仅由起始储能情况决定，而自由响应的系数要同时依从于起始状态和激励信号。
（3）自由响应由两部分组成，其中，一部分由起始状态决定，另一部分由激励信号决定。二者都与系统自身参数密切关联。

在 p60 还有这样一段话：

齐次解的函数特性仅依赖于系统本身，与激励信号的函数形式无关，因而称为系统的自由响应（或固有响应）。但应注意，齐次解的系数 A 仍与激励信号有关。

如何理解

乍一看好像是那么回事，但前面说齐次解的一部分由激励信号决定，后面又说齐次解与激励信号的函数形式无关，是不是有些相互矛盾？

别急，先来看个非常简单的例子：

假设系统的完全解：r(t) = Ae^αt + 1 ，其中α为已知，初始条件 r(0₊) =2。求系统的零输入响应和自由响应

先来求自由响应，也就是齐次解，由完全解形式容易知道，Ae^αt为齐次解，1为特解，要确定齐次解的系数，只需将初始条件代入 r(t) 的表达式即可，代入后可得 A=1，可知系统的自由响应为e^αt

再来求零输入响应，零输入响应和方程的齐次解应该具有相同的函数形式，据此可设零输入响应为Be^αt，直接将初始条件代入即得B=2，即系统的零输入响应为2e^αt

！！发现区别了吧，零输入响应和自由响应在形式上是完全一致的，因为齐次解的形式只与特征方程有关。

但在代入初始条件时自由响应的系数受到了特解的影响，最终导致二者系数上的不同，换句话说，齐次解的系数与特解有关，而特解又是由激励信号完全决定的，故此齐次解的系数与激励信号有关

下面再来重新理解一下课本内容：

（1）自由响应和零输入响应都满足齐次方程的解。

自由响应和零输入响应都具有齐次方程通解的形式，这是因为齐次通解只与特征方程有关，因此它们都是齐次方程的解（不理解的可以去复习一下高数解微分方程通解的相关知识）

（2）然而，它们的系数完全不同。零输入响应的系数仅由起始储能情况决定，而自由响应的系数要同时依从于起始状态和激励信号。
（3）自由响应由两部分组成，其中，一部分由起始状态决定，另一部分由激励信号决定。二者都与系统自身参数密切关联。

从上面的例子中可以看到，零输入响应的系数在求解过程中只涉及到了初始条件，即它只由起始储能情况决定；而对于自由响应，它的系数在求解时不仅涉及到了初始条件，还受到了强迫响应的影响，故齐次解的系数也与激励信号有关

齐次解的函数特性仅依赖于系统本身，与激励信号的函数形式无关，因而称为系统的自由响应（或固有响应）。但应注意，齐次解的系数 A 仍与激励信号有关。

这句话要注意一个细节，人家说的是齐次解的函数特性，这里可以认为就是指齐次解的形式，它当然与激励信号的函数形式无关

总结

零输入响应与自由响应的区别在于：

零输入响应在求解系数时不受特解的影响（求零输入响应可以看作解另外一个微分方程，其输入为0，故特解为0），只与起始条件，也就是起始储能情况决定；

而自由响应在求解系数时会受到特解的影响，而特解由激励信号决定，因此它不仅取决于起始条件，还和激励信号有关

二者的关系是：

零输入响应是自由响应的一部分

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