第二章连续时间系统的时域分析 2月2日

2.1 引言
2.2 系统数学模型（微分方程）的建立
2.3 用时域经典法求解微分方程
2.4 起始点的跳变——从0−{0_ - }0−到0+{0_ + }0+状态转换
2.5 零输入响应与零状态响应
2.6 冲激响应与阶跃响应
2.7 卷积
2.8 卷积的性质
2.9 利用卷积分析通信系统多径失真的消除方法
2.10 用算子符号表示微分方程

2.1 引言

研究输入——输出方程的分析与求解。
重点：

微分方程的经典解法
0−{0_ - }0−到0+{0_ + }0+初始状态
零输入响应与零状态响应
冲激响应和阶跃响应
卷积积分

2.2 系统数学模型（微分方程）的建立

微分方程的建立

微分方程时描述和分析连续时间系统的工具。对给定的具体系统进行电路分析，按照原件的约束条件可建立相应的微分方程。

原件的约束条件——基尔霍夫定律

2.3 用时域经典法求解微分方程

LTI系统一般可用高阶的微分方程的一般形式：C0dnr(t)dtn+C1dn−1r(t)dtn−1+⋯+Cn−1dr(t)dt+Cnr(t)=E0dme(t)dtm+E1dm−1e(t)dtm−1+⋯+Em−1de(t)dt+Eme(t){C_0}{{{d^n}r(t)} \over {d{t^n}}} + {C_1}{{{d^{n - 1}}r(t)} \over {d{t^{n - 1}}}} + \cdots + {C_{n - 1}}{{dr(t)} \over {dt}} + {C_n}r(t) = {E_0}{{{d^m}e(t)} \over {d{t^m}}} + {E_1}{{{d^{m - 1}}e(t)} \over {d{t^{m - 1}}}} + \cdots + {E_{m - 1}}{{de(t)} \over {dt}} + {E_m}e(t)C0dtndnr(t)+C1dtn−1dn−1r(t)+⋯+Cn−1dtdr(t)+Cnr(t)=E0dtmdme(t)+E1dtm−1dm−1e(t)+⋯+Em−1dtde(t)+Eme(t)
微分方程的经典解

r(t)=rh(t)+rp(t)\color{blue}r(t) = {r_h}(t) + {r_p}(t)r(t)=rh(t)+rp(t)，完全解=齐次解+特解.

求齐次解rh(t){r_h}(t)rh(t) ——自由响应

齐次微分方程的解由特征根ai{a_i}ai确定。rh(t)=∑i=1nAieait\color{blue}{r_h}(t) = \sum\limits_{i = 1}^n {{A_i}{e^{{a_i}t}}}rh(t)=i=1∑nAieait，有kkk项重根时rh(t)=(∑i=1nAitk−i)eait\color{blue}{r_h}(t) = (\sum\limits_{i = 1}^n {{A_i}{t^{k - i}}){e^{{a_i}t}}}rh(t)=(i=1∑nAitk−i)eait。

齐次解的函数形式仅与系统本身的特性有关，与激励e(t)e(t)e(t)的形式无关。
求特解rp(t){r_p}(t)rp(t) ——强迫响应

特解的函数形式由激励确定，用待定系数法确定，称为强迫响应。

2.4 起始点的跳变——从0−{0_ - }0−到0+{0_ + }0+状态转换

0−{0_ - }0−状态称为零输入时的初始状态，即初始值是由系统的储能产生的；
0+{0_ + }0+状态称为加入输入后的初始状态，即初始值不仅有系统的储能，还受激励的影响。
从0−{0_ - }0−到0+{0_ + }0+状态的转换：当系统已经用微分方程表示时，系统的初始值从0−{0_ - }0−状态到0+{0_ + }0+状态有没有跳变决定于微分方程右端自由项是否包含δ(t)\delta (t)δ(t)及其各阶导数；如果包含有δ(t)\delta (t)δ(t)及其各阶导数，说明相应的0−{0_ - }0−状态到0+{0_ + }0+状态发生了跳变。
0+{0_ + }0+状态的确定：已知0−{0_ - }0−状态求0+{0_ + }0+状态的值，可用冲激函数匹配法；求0+{0_ + }0+状态的值还可以用拉普拉斯变换中的初值定理求出。

2.5 零输入响应与零状态响应

零输入响应为没有外加激励信号的作用，只由起始状态（0−{0_ - }0−状态）所产生的响应。
零状态响应应为不考虑起始时刻系统储能的作用，由系统的外加激励信号所产生的响应。

2.6 冲激响应与阶跃响应

冲激响应匹配法

目的：用来求解初始值，求0−{0_ - }0−，0+{0_ + }0+，时刻值的关系
条件如果微分方程右边包含δ(t)\delta (t)δ(t)及其各阶导数，那么0+{0_ +}0+时刻的值不一定等于0−{0_ - }0−时刻的值；
原理：利用t=0t=0t=0时刻方程两边的δ(t)\delta (t)δ(t)及各阶导数应该平衡的原理来求解0+{0_ +}0+。

系统响应的划分：

自由响应（Natural）+强迫响应（forced）
暂态响应（Transient）+稳态响应（Steady-state）
零输入响应（Zero-input）+零状态响应（Zero-input）

零输入响应是自由响应的一部分，零状态响应由自由响应的一部分和强迫响应构成。

冲激响应：系统在单位冲激信号δ(t)\delta (t)δ(t))作用下产生的零状态响应，称为单位冲激响应，简称冲激响应，一般用h(t)h(t)h(t)表示。
阶跃响应：系统在单位阶跃信号u(t)u(t)u(t)作用下的零状态响应，称为单位阶跃响应，简称阶跃响应，一般用g(t)g(t)g(t)表示。
冲激响应和阶跃响应的关系:线性时不变系统满足微分、积分特性,h(t),g(t)h(t),g(t)h(t),g(t)的关系，h(t)=ddtg(t)h(t) = {d \over {dt}}g(t)h(t)=dtdg(t);g(t)=∫01h(τ)dτg(t) = \int_0^1 {h(\tau )d\tau }g(t)=∫01h(τ)dτ;

2.7 卷积

卷积的定义：已知定义在区间(−∞,∞)( - \infty ,\infty )(−∞,∞)上的两个函数f1(t),f2(t){f_1}(t),{f_2}(t)f1(t),f2(t)，则定义积分：f(t)=f1(t)∗f2(t)=∫−∞+∞f1(τ)f2(t−τ)dτ\color{blue}f(t) = {f_1}(t)*{f_2}(t) = \int_{ - \infty }^{ + \infty } {{f_1}(\tau ){f_2}(t - \tau )} d\tauf(t)=f1(t)∗f2(t)=∫−∞+∞f1(τ)f2(t−τ)dτ
于是任意信号的零状态响应即为yf(t)=∫−∞+∞f(τ)h(t−τ)dτ=f(t)∗h(t)\color{blue}{y_f}(t) = \int_{ - \infty }^{ + \infty } {f(\tau )h(t - \tau )} d\tau = f(t)*h(t)yf(t)=∫−∞+∞f(τ)h(t−τ)dτ=f(t)∗h(t)
卷积的计算步骤可分解为四步：

换元：ttt换为τ\tauτ，得f1(τ),f2(τ){f_1}(\tau ),{f_2}(\tau )f1(τ),f2(τ);
反转平移：由f2(τ){f_2}(\tau )f2(τ)反转得f2(−τ){f_2}( - \tau )f2(−τ)右移t→f2(t−τ)t \to {f_2}(t - \tau )t→f2(t−τ)；
乘积：f1(τ)∗f2(t−τ){f_1}(\tau )*{f_2}(t - \tau )f1(τ)∗f2(t−τ)；
积分：τ\tauτ从∞\infty∞到−∞-\infty−∞对乘积项积分；

2.8 卷积的性质

交换律：f1(t)∗f2(t)=f2(t)∗f1(t)\color{blue}{f_1}(t)*{f_2}(t) = {f_2}(t)*{f_1}(t)f1(t)∗f2(t)=f2(t)∗f1(t)；
分配律：f1(t)∗[f2(t)+f3(t)]=f1(t)∗f2(t)+f1(t)∗f3(t)\color{blue}{f_1}(t)*[{f_2}(t) + {f_3}(t)] = {f_1}(t)*{f_2}(t) + {f_1}(t)*{f_3}(t)f1(t)∗[f2(t)+f3(t)]=f1(t)∗f2(t)+f1(t)∗f3(t);
结合律：[f1(t)∗f2(t)]∗f3(t)=f1(t)∗[f2(t)∗f3(t)]\color{blue}[{f_1}(t)*{f_2}(t)]*{f_3}(t) = {f_1}(t)*[{f_2}(t)*{f_3}(t)][f1(t)∗f2(t)]∗f3(t)=f1(t)∗[f2(t)∗f3(t)]；
微分性质：f(t)=f1(t)∗f2′(t)=f1′(t)∗f2(t)\color{blue}f(t) = {f_1}(t)*{f'_2}(t) = {f'_1}(t)*{f_2}(t)f(t)=f1(t)∗f2′(t)=f1′(t)∗f2(t);
积分性质：f(−1)(t)=f1(t)∗f2(−1)(t)=f1(−1)(t)∗f2(t)\color{blue}{f^{( - 1)}}(t) = {f_1}(t)*{f_2}^{( - 1)}(t) = {f_1}^{( - 1)}(t)*{f_2}(t)f(−1)(t)=f1(t)∗f2(−1)(t)=f1(−1)(t)∗f2(t);
微积分性质f(t)=f1(−1)(t)∗f2′(t)=f1′(t)∗f2(−1)(t)\color{blue}f(t) = {f_1}^{( - 1)}(t)*{f'_2}(t) = {f'_1}(t)*{f_2}^{( - 1)}(t)f(t)=f1(−1)(t)∗f2′(t)=f1′(t)∗f2(−1)(t);
冲激函数的卷积：f(t)∗δ(t)=f(t)\color{blue}f(t)*\delta (t) = f(t)f(t)∗δ(t)=f(t);f(t)∗δ′(t)=f′(t)\color{blue}f(t)*\delta '(t) = f'(t)f(t)∗δ′(t)=f′(t);
阶跃函数的卷积：f(t)∗u(t)=∫−∞tf(τ)dτ\color{blue}f(t)*u(t) = \int_{ - \infty }^t {f(\tau )} d\tauf(t)∗u(t)=∫−∞tf(τ)dτ;

2.9 利用卷积分析通信系统多径失真的消除方法

在无线通信系统中，当接收机从正常途径收到发射信号时，可能还有其它寄生的传输途径，计入发射机经某些建筑物反射到接收端，产生所谓“回波”现象。回波系统的冲激响应表达式为h(t)=δ(t)+aδ(t−T)\color{blue}h(t) = \delta (t) + a\delta (t - T)h(t)=δ(t)+aδ(t−T)，或对多个回声有：h(t)=∑m=0namδ(t−Tm)\color{blue}h(t) = \sum\limits_{m = 0}^n {{a_m}\delta (t - {T_m})}h(t)=m=0∑namδ(t−Tm).为了从含有干扰信号的回波系统中取出正常信号，需要设计一个“逆系统”进行补偿，你系统的冲激响应以hi(t){h_i}(t)hi(t)表示，则：e(t)=r(t)∗hi(t)=e(t)∗[h(t)∗hi(t)]\color{blue}e(t) = r(t)*{h_i}(t) = e(t)*[h(t)*{h_i}(t)]e(t)=r(t)∗hi(t)=e(t)∗[h(t)∗hi(t)]，经过推到得：hi(t)=∑k=0∞(−a)kδ(t−kT)\color{blue}{h_i}(t) = \sum\limits_{k = 0}^\infty {{{( - a)}^k}\delta (t - kT)}hi(t)=k=0∑∞(−a)kδ(t−kT)可根据具体环境要求，将k值区若干有限项即可满足消除回音的要求。

2.10 用算子符号表示微分方程

《信号与系统》笔记第二章相关推荐

读书笔记2014第4本：程序员修炼之道-从小工到专家（第一章）
<程序员修炼之道-从小工到专家>是一本1999年写的老书,但15年之后,书中的许多道理依然没变,时不时拿出一章咀嚼一下仍有许多可回味之处. 第一章注重实效的哲学 1.我的源码让猫给吃了 ...
程序员修炼之道-从小工到专家（第一章）读后感
第一章第一节我的源码让猫吃了读后感这一节教会我要有责任心要负责.一.如果承诺了某件事,就要信守承诺完成它,尽管事情可能不尽人意使你不能完成它,但你起码是尽你所能去做了,而不是因为不可能完成了就 ...
读《程序员修炼之道——从小工到专家》(The Pragmatic Programmer: From Journeyman to Master)
花了几天时间略读完了<程序员修炼之道--从小工到专家>(The Pragmatic Programmer: From Journeyman to Master).总体感觉就像是一位多年开发 ...
[拇指飞动]读《程序员修炼之道:从小工到专家》
在很多Must Read推荐书目中,<The.Pragmatic.Programmer_From.Journeyman.to.Master[1999][CHS][PDF]>(<程序员 ...
程序员修炼之道-从小工到专家读后感
最近3周,利用早上的时间,阅读了<程序员修炼之道-从小工到专家>,这本书写得非常好,深有感触.可能由于水平有限,对于其中一些珠玑理解没有那么强的感受.这里主要讲一些我感触特别深的点. 一. ...
程序员修炼之道–从小工到专家
<程序员修炼之道–从小工到专家> <程序员修炼之道–从小工到专家>[美]Andrew Hunt / David Thomas 著马维达译图片来源-百度图片看这本书主 ...
《程序员修炼之道–从小工到专家》读书笔记
<程序员修炼之道–从小工到专家>的读书笔记 <程序员修炼之道–从小工到专家>[美]Andrew Hunt / David Thomas 著马维达译看这本书主要使用了检视阅 ...
程序员修炼之道--从小工到专家（一）
这个假期里看了一下这本书,乍一看名字,觉得这就是比较鸡汤类的书吧,但是在看了一部分之后,忽然感觉到,以前的自己真的是很无知,一直就没有认识到做一个真实的项目的困难性,也根本就没有真正的认识到怎么去做一 ...
读《程序员修炼之道——从小工到专家》
注重实效的程序员,能够越出直接的问题去思考,总是设法把问题放在更大的语境中,总是设法注意更大的场景.注重实效的程序员不满足于只解决客户的问题,而且更关注如何为客户带来价值.注重实效的程序员,倾向于把需 ...
《程序员修炼之道——从小工到专家》读后感一
"在所有弱点中,最大的弱点就是害怕暴露弱点."自己很喜欢这句话.这让我再一次的提醒自己,不要怕把自己的错误暴露给别人,不要怕把自己的无知暴露给别人.只有暴露出缺点,才能 ...

《信号与系统》笔记第二章

第二章连续时间系统的时域分析 2月2日

2.1 引言

2.2 系统数学模型（微分方程）的建立

2.3 用时域经典法求解微分方程

2.4 起始点的跳变——从0−{0_ - }0−到0+{0_ + }0+状态转换

2.5 零输入响应与零状态响应

2.6 冲激响应与阶跃响应

2.7 卷积

2.8 卷积的性质

2.9 利用卷积分析通信系统多径失真的消除方法

2.10 用算子符号表示微分方程

《信号与系统》笔记第二章相关推荐

最新文章

热门文章

《信号与系统》笔记 第二章

第二章 连续时间系统的时域分析 2月2日

2.1 引言

2.2 系统数学模型（微分方程）的建立

2.3 用时域经典法求解微分方程

2.4 起始点的跳变——从0−{0_ - }0−​到0+{0_ + }0+​状态转换

2.5 零输入响应与零状态响应

2.6 冲激响应与阶跃响应

2.7 卷积

2.8 卷积的性质

2.9 利用卷积分析通信系统多径失真的消除方法

2.10 用算子符号表示微分方程

《信号与系统》笔记 第二章相关推荐

最新文章

热门文章

《信号与系统》笔记第二章

第二章连续时间系统的时域分析 2月2日

2.4 起始点的跳变——从0−{0_ - }0−到0+{0_ + }0+状态转换

《信号与系统》笔记第二章相关推荐