【BZOJ3252】攻略【闵可夫斯基和】【堆启发式合并】

题意：给一棵 nnn 个点的有点权的树，你需要找 kkk 条根到叶子的路径，使得路径并集的权值和最大。

n≤2×105n\leq 2\times 10^5n≤2×105

其实就是个贪心，只是从这个角度更自然一点(

先有个显然的 dp，设 f(u,k)f(u,k)f(u,k) 为从 uuu 往下找 kkk 条链覆盖的权值最大值。

f′(u,k)=max⁡i=0k{f(u,i)+f(v,k−i)}+[k>0]auf'(u,k)=\max_{i=0}^k \{f(u,i)+f(v,k-i)\}+[k>0]a_uf′(u,k)=i=0maxk{f(u,i)+f(v,k−i)}+[k>0]au

发现是个闵可夫斯基和的形式。

然后往这个方向考虑，不管怎么理解都能看出这是个凸壳。

所以合并的时候继承叶子最多的儿子（或者直接继承子树最大的也可以）的凸包，其他的暴力做闵可夫斯基和。可以用堆来维护斜率也就是差分，然后暴力插入。最后把第一项 +au+a_u+au 即可。

复杂度是 O(nlog⁡2n)\Omicron(n\log ^2n)O(nlog2n)，但常数很小。

脑抽写了个平衡树，我是 SB

#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <cctype>
#include <vector>
#include <cstdlib>
#define MAXN 200005
using namespace std;
inline int read()
{int ans=0;char c=getchar();while (!isdigit(c)) c=getchar();while (isdigit(c)) ans=(ans<<3)+(ans<<1)+(c^48),c=getchar();return ans;
}
typedef long long ll;
int ch[MAXN][2],key[MAXN],tot;
ll val[MAXN];
inline int newnode(int v){return val[++tot]=v,key[tot]=rand(),tot;}
int merge(int x,int y)
{if (!x||!y) return x|y;if (key[x]<key[y]) return ch[x][1]=merge(ch[x][1],y),x;return ch[y][0]=merge(x,ch[y][0]),y;
}
void split(int x,ll v,int& l,int& r)
{if (!x) return (void)(l=r=0);if (val[x]>v) split(ch[x][1],v,l,r),ch[x][1]=l,l=x;else split(ch[x][0],v,l,r),ch[x][0]=r,r=x;
}
int getfir(int& x)
{if (!ch[x][0]) {int t=x;x=ch[x][1],ch[t][1]=0;return t;}return getfir(ch[x][0]);
}
inline void insert(int& x,int v)
{int l,r;split(x,val[v],l,r);x=merge(merge(l,v),r);
}
vector<int> e[MAXN];
int a[MAXN],rt[MAXN],lev[MAXN],son[MAXN];
void dfs(int u)
{if (e[u].empty()) return (void)(lev[u]=1);for (int i=0;i<(int)e[u].size();i++){dfs(e[u][i]);if (lev[e[u][i]]>lev[son[u]]) son[u]=e[u][i];lev[u]+=lev[e[u][i]];}
}
void Dfs(int u)
{if (son[u]) Dfs(son[u]),rt[u]=rt[son[u]];else return (void)(rt[u]=newnode(a[u]));for (int i=0;i<(int)e[u].size();i++)if (e[u][i]!=son[u]){Dfs(e[u][i]);while (rt[e[u][i]]) insert(rt[u],getfir(rt[e[u][i]]));}int p=getfir(rt[u]);val[p]+=a[u];rt[u]=merge(p,rt[u]);
}
int main()
{int n,k;n=read(),k=read();for (int i=1;i<=n;i++) a[i]=read();for (int i=1;i<n;i++){int u,v;u=read(),v=read();e[u].push_back(v);}dfs(1),Dfs(1);ll ans=0;while (k--) ans+=val[getfir(rt[1])];cout<<ans;return 0;
}

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