平衡树 - FHQ 学习笔记

主要参考万万没想到 的 FHQ-Treap学习笔记。

本片文章的姊妹篇：平衡树 - Splay 学习笔记。

感觉完全不会平衡树，又重新学习了一遍 FHQ，一口气把常见套路都学完了。

一、大致内容及分类

FHQ(???)，全称非旋转 Treap，是一种可以用于维护按权值、排名分裂的数据结构。它相比与 Splay 虽然常数较大，但是实现起来代码难度相对容易，而且由于它非旋的特点，也可以用来实现可持久化。

既然叫做非旋 Treap，它兼有 Treap 的特点又有非旋转独特的优势。

• 从 Treap 角度看，他们同样都是依赖修正值 rnd 是随机的，用将他们按照 rnd 形成一个小根堆。与 Treap 相同，它也满足笛卡尔树的性质，它的中序遍历和它的插入顺序相同，即 \(1\) 到 \(n\) 的序列。
• 从非旋角度看，FHQ 直接通过 split 和 merge 操作实现添加、删除元素，不用再树上旋转了。

根据不同题目要求，将平衡树分为序列平衡树和权值平衡树。

• 序列平衡树的中序遍历为每个元素在序列中的下标，权值为每个元素具体的值，常见题型为区间翻转等。
• 权值平衡树的中序遍历是所有元素从小到大排序，即按照中序遍历提取所有元素后元素权值递增，常见操作为第 \(k\) 大等。

如果毒瘤出题人同时综合了以上两种操作，即区间翻转 \(+\) 区间第 \(k\) 大，应该怎么做呢？好吧，如果真是这样，这篇文章可能不能够帮到你，直接上一个根号做法！

二、基本操作

FHQ 的核心操作就是 split 出操作区间，操作完后 merge 回去。

下边讲解中默认的平衡树类型为权值平衡树，序列平衡树其实是将某些 \(val\) 改为了 \(siz\)。

分裂 split

无论是按照排名还是权值分裂，他们都是将原树分为左右两半，可以利用中序遍历的性质进行分裂。

具体操作时，我们新建两个临时变量 \(x,y\) 分别表示分裂出来的左边、右边的那颗平衡树。

如果我们遇到一个应该属于 \(x\) 树的节点，就将这个点以及这个点的左子树加入 \(x\) 树中，并递归分裂右子树；如果遇到属于 \(y\) 的，就将这个点与它的右子树加入 \(y\) 树中，并递归分裂左子树。

需要注意到是，如果使用序列平衡树，下面和 \(k\) 的大小判断应该变为 \(ls.siz+1\le k\)。

\(\bigstar\texttt{Attention}\)：如果需要 split 一个区间，记得先 split 右端点再 split 左端点！

可以写出伪代码如下：

void split(int p,int k,int &x,int &y) // 分裂出 (-infty,k],(k,+infty)
{if(!p) { x=y=0; return; }pushdown(p);if(tree[p].val<=k) x=p,split(rs,k,rs,y);else y=p,split(ls,k,x,ls);pushup(p);
}

合并 merge

由于这是 FHQ 的 merge，需要在合并时既保证小根堆性质又不破坏中序遍历的特点，对合并的两棵树有特殊的要求：左右区间不能够相交或者顺序颠倒！

所以我们在合并时必须按照顺序从左到右合并。

具体操作时，可以直接将 rnd 小的作为新树的根节点，如果这个根节点来自左子树就递归右子树，相反来自右子树就递归左子树(由于满足上面区间不相交也不颠倒的特点)。

写出伪代码：

int merge(int x,int y)
{if(!x || !y) return x+y;if(tree[x].rnd<tree[y].rnd){ pushdown(x),tree[x].pr=merge(tree[x].pr,y),pushup(x); return x; }else{ pushdown(y),tree[y].pl=merge(x,tree[y].pl),pushup(y); return y; }
}

新建节点 new

没什么可说的，就是给新节点附一个随机的 rnd。

inline int New(ll Val)
{int p=++All;tree[p].rnd=rand(),tree[p].val=Val;tree[p].siz=tree[p].cnt=1;tree[p].pl=tree[p].pr=0;return p;
}

插入 insert

直接分裂出两端区间，把新建的加点放到两棵树中间在合并即可。

inline void Insert(ll Val)
{split(root,Val,x,y);root=merge(merge(x,New(Val)),y);
}

删除 delete

FHQ 可以实现删除一个数或删除这个值的所有数，唯一区别就在于分裂时的不同。

inline void Delete_one(ll Val)
{split(root,Val,x,z),split(x,Val-1,x,y);y=merge(tree[y].pl,tree[y].pr);root=merge(merge(x,y),z);
}
inline void Delete_All(ll Val)
{split(root,Val,x,z),split(x,Val-1,x,y);root=merge(x,z);
}

查询排名对应权值 Rank_to_Value

根据每颗子树的 \(siz\) 暴力跳即可。

inline int kth(int p,int Rank) // 这里返回的是找到节点的下标
{while(p){if(tree[ls].siz>=Rank) p=ls;else if(tree[ls].siz+tree[p].cnt>=Rank) return p;else Rank-=tree[ls].siz+tree[p].cnt,p=rs;}return p;
}

查询权值对应排名 Value_to_Rank

按照权值分裂出来后左区间树的 \(siz\) 就是排名。

inline int Value_to_Rank(ll Value)
{split(root,Value-1,x,y);int ret=tree[x].siz+1;root=merge(x,y);return ret;
}

查询前驱 Findpre

分裂出来后在左子树中排名最靠后的是前驱。

inline ll Findpre(ll Value)
{split(root,Value-1,x,y);ll ret=tree[kth(x,tree[x].siz)].val;root=merge(x,y);return ret;
}

查询后继 Findnex

分裂出来后在右子树中排名最靠前的是后继。

inline ll Findnex(ll Value)
{split(root,Value,x,y);ll ret=tree[kth(y,1)].val;root=merge(x,y);return ret;
}

三、可持久化平衡树

平衡树上的可持久化和线段树的可持久化其实差别不大，每次修改的时候需要建立新的节点，对于每个版本也需要保存根节点。

新建一个点的原则：如果我们把版本最新的点叫做新点，那么我们只能够在可持久化平衡树中对新点修改，不然就会出错，所以在 split 与 merge 中，我们一旦对一个值进行了修改，就需要新建一个节点。

伪代码如下：

inline void pushdown(int p)
{if(!tree[p].tag) return;if(ls) ls=clone(ls),tree[ls].tag^=1,swap(tree[ls].pl,tree[ls].pr);if(rs) rs=clone(rs),tree[rs].tag^=1,swap(tree[rs].pl,tree[rs].pr);tree[p].tag=false;
}
inline int clone(int p) { tree[++All]=tree[p]; return All; }
void split(int p,ll k,int &x,int &y)
{if(!p) { x=y=0; return; }pushdown(p);if(tree[p].val<=k) x=clone(p),split(rs,k,tree[x].pr,y),pushup(x);else y=clone(p),split(ls,k,x,tree[y].pl),pushup(y);
}
int merge(int x,int y)
{if(!x || !y) return x+y;if(tree[x].rnd<tree[y].rnd){pushdown(x),x=clone(x),tree[x].pr=merge(tree[x].pr,y),pushup(x);return x;}else{pushdown(y),y=clone(y),tree[y].pl=merge(x,tree[y].pl),pushup(y);return y;}
}

四、常见优化技巧

垃圾回收

在每次新建节点的时候先从垃圾桶中捡，如果垃圾捡光了再新开节点。

笛卡尔树方式建树

由于我们的 FHQ 是一种笛卡尔树，所以如果给定了一堆点，完全可以直接用笛卡尔树的方式 \(\mathcal{O(n)}\) 建树。

inline int build()
{int tp=0,p=0,Last;for(int i=1;i<=n;i++){p=New(v[i]),Last=0;while(tp && tree[sta[tp]].rnd>tree[p].rnd) pushup(Last=sta[tp--]);if(tp) tree[sta[tp]].pr=p;tree[p].pl=Last,sta[++tp]=p;}while(tp) pushup(sta[tp--]);return sta[1];
}

定期重构

如果题目中对空间有限制而且不要求查询历史版本，可以定期重构。当使用的空间超过一定值的时候，我们中序遍历整棵树并放入数组中，在线性建树。

启发式合并

如果需要合并两个有交集的 Treap 时该怎么做？我们可以每次将较小的数合并到较大的树中去，这样每个点最多只会合并 \(\log n\) 次，每次合并复杂度 \(n\log n\)，总时间复杂度 \(\mathcal{O(n\log ^2 n)}\)。

区间缩点

详见万万没想到的博客，咕咕咕。

五、模板

struct FHQ_number
{#define Maxn 点数#define ls tree[p].pl#define rs tree[p].prprivate:int All=0,root=0;struct NODE { int pl,pr,siz,cnt,rnd; ll val; };NODE tree[Maxn];inline int Dot() { return ++All; }inline int New(ll Val){int p=Dot();tree[p].rnd=rand(),tree[p].val=Val;tree[p].siz=tree[p].cnt=1;tree[p].pl=tree[p].pr=0;return p;}inline void pushdown(int p) { p--; }inline void pushup(int p){ tree[p].siz=tree[ls].siz+tree[rs].siz+tree[p].cnt; }void split(int p,int k,int &x,int &y){if(!p) { x=y=0; return; }pushdown(p);if(tree[p].val<=k) x=p,split(rs,k,rs,y);else y=p,split(ls,k,x,ls);pushup(p);}int merge(int x,int y){if(!x || !y) return x+y;if(tree[x].rnd<tree[y].rnd){pushdown(x),tree[x].pr=merge(tree[x].pr,y),pushup(x);return x;}else{pushdown(y),tree[y].pl=merge(x,tree[y].pl),pushup(y);return y;}}inline int kth(int p,int Rank){while(p){if(tree[ls].siz>=Rank) p=ls;else if(tree[ls].siz+tree[p].cnt>=Rank) return p;else Rank-=tree[ls].siz+tree[p].cnt,p=rs;}return p;}int x,y,z;public:inline void Insert(ll Val){ split(root,Val,x,y),root=merge(merge(x,New(Val)),y); }inline void Delete_one(int Val){split(root,Val,x,z),split(x,Val-1,x,y);y=merge(tree[y].pl,tree[y].pr);root=merge(merge(x,y),z);}inline ll Rank_to_Value(int Rank){ return tree[kth(root,Rank)].val; }inline int Value_to_Rank(ll Value){split(root,Value-1,x,y);int ret=tree[x].siz+1;root=merge(x,y);return ret;}inline ll Findpre(ll Value){split(root,Value-1,x,y);ll ret=tree[kth(x,tree[x].siz)].val;root=merge(x,y);return ret;}inline ll Findnex(ll Value){split(root,Value,x,y);ll ret=tree[kth(y,1)].val;root=merge(x,y);return ret;}
}T;

struct FHQ_sequence
{#define Maxn 点数#define ls tree[p].pl#define rs tree[p].print All=0,root=0;struct NODE { int pl,pr,siz,cnt,rnd,val; bool tag; };NODE tree[Maxn];inline int Dot() { return ++All; }inline int New(int Val){int p=Dot();tree[p].rnd=rand(),tree[p].val=Val;tree[p].cnt=tree[p].siz=1;tree[p].pl=tree[p].pr=0;return p;}inline void pushdown(int p){if(!tree[p].tag) return;swap(tree[ls].pl,tree[ls].pr);swap(tree[rs].pl,tree[rs].pr);tree[ls].tag^=1,tree[rs].tag^=1;tree[p].tag=false;}inline void pushup(int p){ tree[p].siz=tree[ls].siz+tree[p].cnt+tree[rs].siz; }void split(int p,int k,int &x,int &y){if(!p) { x=y=0; return; }pushdown(p);if(tree[ls].siz<k) x=p,split(rs,k-tree[ls].siz-1,rs,y);else y=p,split(ls,k,x,ls);pushup(p);}int merge(int x,int y){if(!x || !y) return x+y;if(tree[x].rnd<tree[y].rnd){pushdown(x),tree[x].pr=merge(tree[x].pr,y),pushup(x);return x;}else{pushdown(y),tree[y].pl=merge(x,tree[y].pl),pushup(y);return y;}}int kth(int p,int Rank){while(p){if(tree[ls].siz>=Rank) p=ls;else if(tree[ls].siz+tree[p].cnt>=Rank) return p;else Rank-=tree[ls].siz+tree[p].cnt,p=ls;}return p;}void Insert(int Val) // 插到末尾 { root=merge(root,New(Val)); }int x,y,z;inline void Reverse(int l,int r){split(root,r,x,z),split(x,l-1,x,y);swap(tree[y].pl,tree[y].pr),tree[y].tag^=1;root=merge(merge(x,y),z);}void print(int p){pushdown(p);if(ls) print(ls);printf("%d ",tree[p].val);if(rs) print(rs);}
}T;

六、例题

【模板】普通平衡树

【模板】普通平衡树(数据加强版)

【模板】文艺平衡树

【模板】可持久化平衡树

【模板】可持久化文艺平衡树

平衡树题单