不连续曲线 highcharts_什么是正则曲线和正则曲面

微分几何和微分流形的书上经常提到“正则曲线”和“正则曲面”。其实英文书中写作”Regular Curve“和”Regular Surface“，让人一眼能够了解其大意（这也是我更偏向看英文原版书的原因）。我就想，数学家为啥不翻译成”规则曲线“和”规则曲面“呢？难道是为了更进一步提高数学的门槛？

言归正传，我们来看看Regular Curve和Regular Surface的真正的数学含义。（参考Manfredo P. do Carmo的《Differential Geometry of Curves and Surfaces》）

Regular Curve

我们学习微积分的时候，已经知道了”连续“以及”可微“的概念（所谓可微就是函数连续的前提下，左导数等于右导数）。在微分几何中一条参数化可微曲线可以作如下定义：

一条参数化的可微曲线是定义在一个开区间上的可微映射：

，其中

。

举例1：直线，

，它在开区间

可微

举例2：圆，

在开区间

上可微。

举例3：

可微，需要注意的是在

处，

（是一个奇点），所以此曲线不是一条正则曲线（稍后解释），如下图：

举例4：折线

，不是一条可微曲线，因为在t = 0处，函数不可微。

举例5：自相交曲线

是一条可微曲线，其中

，也就是说曲线在（0，0）并不是一对一关系。但它依然是一条正则曲线（稍后解释）。

总结一下正则曲线（Regular Curve）的定义：

一条参数化的可微曲线

为正则曲线需要满足的条件是，对于任何

。

也就是说：正则曲线在满足连续可微条件之外，必须保证每一处的切向量不为0。

2. Regular Surface

对于曲面，首先我们知道曲面是一个二维到三维的映射，用数学的语言描述一下就是

那么我们如何定义一个正则曲面呢？

我们可以这样想：过曲面上一点P有无数条在此曲面上的曲线，这些曲线在P的邻域内都是正则曲线（连续可微有非0切向量），并且在这些曲线在P的邻域内不会自相交（记住正则曲线不能保证曲线不会自相交哦），那么这个P点就是曲面上的正则点，如果曲面上所有的点都是正则点，那么这个曲面就是正则曲面！

下面我们用数学的语言来描述一下正则曲面：

1）曲面的映射

是任意阶连续可微的（可以想象过曲面P点的所有曲线都是无穷阶连续可微的曲线

）,我们可以写成：

其中

有任意阶的连续偏导。

2）曲面的映射

是同胚映射（homomorphism，可以参看维基百科的

https://zh.wikipedia.org/wiki/%E5%90%8C%E8%83%9A，同胚指的是满足单射、满射、连续并且逆连续）。同胚保证了U和V之间元素的一对一关系，避免了自相交。

3）对于任意的

是一对一映射。

关于

,可以出门左转看我的这篇文章：

Allan："dF" 的本质（雅可比矩阵）zhuanlan.zhihu.com

这里的一对一映射指的是，对于

，如果

，那么

。

第1）条的作用是保证了曲面没有尖点，没有尖边，第2）条的作用是保证了曲面没有自相交，第3）条的作用比较none-trival，它的作用是保证曲面上的每点都有切平面，下面详细解释一下。

我们知道

，要保证有切平面，就需要

和

非线性相关，然后切平面上的任何向量都是

和

的线性组合。

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