在无人车的运动规划(Motion Planning)过程中，比如在速度规划和路径规划时经常会遇到这样的问题：

速度规划：已知当前的速度信息，以及目标的速度信息，需要生成一条平滑的速度曲线，从当前速度到目标速度，同时这个过程中应尽可能保持平顺，避免急加速、急减速；
路径规划：已知当前的位姿信息，以及目标的位姿信息，需要生成一条平滑的路径，连接当前位姿到目标位姿，同时这个过程中应尽可能保持平顺，避免在路径跟踪时方向盘打得很猛。

上述两个问题可以归结为：在二维空间中，给定起点和终点状态，计算一条连接两点的平滑曲线。

这里以速度规划为例，介绍用不同的多项式曲线来生成平滑的速度曲线。一般无人车的纵向控制量为加速度，因此，在生成速度曲线的过程中，还需要关注加速度曲线以及加加速度(即加速度的导数)的曲线变化。

如下图所示，在S-V图上，若已知起点和终点的速度状态，如何计算出一条平滑的速度曲线？在不考虑避障的情况，可以用直线连接，也可以用一定的曲线来连接。

速度状态包括：

s – distance，距离
v – velocity，速度
a – acceleration，加速度
j – jerk，加加速度

根据已知的速度状态信息，可分别采用不同的多项式曲线。

1、一次多项式曲线

在S-V图上，若已知起点和终点的距离、速度，可采用一次多项式曲线。

采用一次多项式曲线拟合，对应的S-vel，S-acc，S-jerk分别如下图所示，可以看到加速度在初始位置是突变的。在实际的车辆控制过程中，一是车辆实际的加速度不可能突变，必然造成实际的车辆加速度跟不上规划的加速度；二是这个过程加速度突变，制动会让车上的人很不爽。

2、三次多项式曲线

在S-V图上，若已知起点和终点的距离、速度、加速度，则可采用三次多项式曲线。

采用三次多项式曲线拟合，对应的S-vel，S-acc，S-jerk分别如下图所示。可以看到加速度是连续变化的，但加加速度在初始位置是突变的。同样在实际的车辆控制过程中，实际的车辆加速度跟不上规划的加速度；二是这个过程加加速度突变，也会让车上的人不爽。

3、五次多项式曲线

在S-V图上，若已知起点和终点的距离、速度、加速度、加加速度，则可采用五次多项式曲线。

采用五次多项式曲线拟合，对应的S-vel，S-acc，S-jerk分别如下图所示。可以看到加速度、加加速度都是连续变化的。因此采用五次多项式曲线来进行拟合，可以使纵向的加速度控制平顺变化。

上面展示用不同多项式来生成速度平滑曲线的方法，在路径规划中同理。

一般在路径规划时采用Frenet坐标系，即使用道路的中心线作为参考线，使用参考线的 切线向量 和 法线向量 建立坐标系。如下图所示，这个S-D坐标系即为Frenet坐标系(有关Frenet坐标系的介绍可见上一篇文章)。

可用不同多项式来生成S-D换道轨迹，在不考虑避障的情况下，通常使横向的加加速度最小化来提高换道时的平顺性。

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