傅里叶变换基本概念及复数类实现

最近对图像处理算法比较感兴趣，也看了一些数字图像处理相关书籍，自己也实现过一些简单的图像处理算法。随着了解的深入，发现要真正理解图像处理各种骚操作，绕不开基于傅里叶变换的各种频率域滤波。对于lz这种数学渣来说，看到各种数学公式推导，简直令人头大，通过傅里叶变换把直观图像转换为抽象的频谱图更是让人难以理解。

上面是一张傅里叶变换后的频谱图，如果不了解傅里叶变换，很难从上图中分析出原图包含的一些特征。研究了一段时间傅里叶变换，按照lz的理解，其实图像的傅里叶变换就是根据空间位置对图像灰度值进行拆分，分离出从高到低不同频率，频谱图就是展示一张图像从低频（频谱中心，图像平均灰度）到高频（远离频谱中心，对应灰度变化大的区域）的分布。而频率域滤波则是根据图像的频率特征，采用不同滤波器，理想低通、高通，高斯低通、高通等，对频率域的图像数据进行处理，之后通过逆傅里叶变换还原出滤波后的图像。

冈萨雷斯的《数字图像处理》第四章节用了将近70页的篇幅对傅里叶变换进行了逐步讲解，同时也表明了频率域滤波在图像滤波中的重要性。虽然是图像处理的业余爱好者，lz还是决定有必要把傅里叶变换尽量搞清楚一些。因为没有接触过MATLAB和OpenCV(暂时也不打算使用第三方工具)，所以文章所涉及到的代码都使用lz比较熟悉的java来实现。

为了更好的理解傅里叶变换，lz将傅里叶变换从一些基本概念到应用拆分为不同层次，基本概念及推导、一维离散傅里叶变换、快速傅里叶变换、二维傅里叶变换、频率域滤波。这里就对傅里叶变换的一些基本概念做个总结。

傅里叶变换涉及的一些基本概念：复数、欧拉公式、傅里叶公式、取样和卷积。

一、复数

复数的形式：C = a + jb

a为实部，jb为虚部，其中b为实数， $j=\sqrt{-1}$ ，为虚数。复数也可以理解为一个二维平面上的点，实部为x轴，虚部为y轴。

复数的共轭复数：C’ = a - jb，实部相同，虚部符号相反。

复数满足四则运算法则

例如：C’’ = c + jd;

复数相加：C + C’’ = (a + c) + j(b+d)

复数相减：C - C” = (a - c) + j(b - d)

复数相乘：C * C” = (a + jb) * (c + jd) = a*c - bd + j(ad + bc)

复数相除：C / C” = (a + jb)/(c + jd) = (a + jb)*(c - jd)/(c + jd)(c - jd)

=[(ac + bd) - j(bc - ad)] / (c2 + d2)

复数的模长：C = a + jb模长为|C| = $\sqrt{a^{2}+b^{^{2}}}$

根据三角函数，复数可变换为：复数可变换为：C = |C|( $cos\theta +sin\theta$ )形式，实际上在编程中傅里叶变换也是通过这种形式进行计算的。

二、欧拉公式

$e^{j\theta }=cos\theta +jsin\theta$

傅里叶变换公式也就是通过欧拉公式变换为方便计算的复数形式。

三、傅里叶变换公式

傅里叶变换公式： $F(\mu )=\int_{-\infty }^{\infty }f(t)e^{-j2\pi \mu t}d_{t}$

傅里叶反变换公式： $f(t )=\int_{-\infty }^{\infty }F(\mu)e^{j2\pi \mu t}d_{\mu}$

以上两个公式就是傅里叶变换和逆变换，但这是在连续函数上的变换，我们实际使用的是离散函数的傅里叶变换。

傅里叶变换公式的简单推导过程：

例：常数函数f(t)=A ，在 $t\epsilon [-W/2,W/2]$ 有限区间内，傅里叶公式可做如下变换：

$F(\mu )=\int_{-W/2 }^{W/2 }f(t)e^{-j2\pi \mu t}d_{t}$

$=\frac{-A}{j2\pi \mu }[e^{-j2\pi \mu t}]_{W/2}^{W/2}$

$=\frac{-A}{j2\pi \mu }[e^{-j\pi \mu W}-e^{j\pi \mu W}]$

$=\frac{A}{j2\pi \mu }[e^{j\pi \mu W}-e^{-j\pi \mu W}]$

根据欧拉公式

$e^{j\pi \mu W}=cos(\pi \mu W)+jsin(\pi \mu W)$

上面公式可以做进一步变换

$F(\mu )=\frac{A}{j2\pi \mu }[cos(\pi \mu W)+jsin(\pi \mu W)-cos(\pi \mu W)+jsin(\pi \mu W)]$

$=\frac{A}{\pi \mu }sin(\pi \mu W)$

$=\frac{AW}{\pi \mu W}sin(\pi \mu W)$

上式结果也可由三角恒等式直接变换过来：

三角恒等式： $sin\theta =(e^{j\theta }-e^{-j\theta })/2j$

通常，为了显示，需要处理幅值，变换为傅里叶谱或频谱：

$|F(\mu )|=AW|\tfrac{sin(\pi \mu W)}{\pi \mu W}|$

四、取样和卷积

上面所讲的傅里叶公式及推导都是在连续函数上进行的，而要实现计算机能够处理的数据必须是离散的信号，所以这就涉及到取样。连续的数字信号，例如音频、电磁波信号等，需要对原始信号采样后再进行处理，而图像处理方面，可以把每一个像素上的灰度值看做已经采样后的数据，我们只需要把图像数据作为离散的信号输入即可。

至于卷积，做过图像空间域滤波以后不难理解，图像的傅里叶变换，是以整个图像所有对图像上每个像素进行傅里叶计算，也就是说以整个图像作为一个周期，计算不同频率在某个像素位置上的叠加。那么一幅像素数量为N的图像，需要进行的离散傅里叶变换计算次数为N * N。例如，对一幅2000万像素的图片做傅里叶变换计算，需要计算2000万 * 2000万次，这对超级计算机来说也是一个不小的挑战，于是有了快速傅里叶变换，把计算量降低为N * log2N，这才使傅里叶变换有了实用价值，至于快速傅里叶变换，后面再详细讲。

五、复数类的实现

上面只是对傅里叶变换概念及公式做了个简单的讲解，其实从代码上实现傅里叶变换并没有那么复杂。由于傅里叶变换是在复数基础上进行计算的，接下来就迈出傅里叶变换的第一步，复数的代码实现。

附上java代码：

package FourierTransform;/*** 复数类* @author admin**/
public class Complex {private double a; //复数实部private double b; //复数虚部//创建一个复数类实例public Complex(double a,double b) {this.a = a;this.b = b;}//获取复数实部public double getRealPart() {return this.a;}//获取复数虚部public double getImaginePart() {return this.b;}//对复数重新赋值public void changeVaule(double a, double b) {this.a = a;this.b = b;}//共轭复数public Complex conjugate() {return new Complex(this.a,-this.b);}//计算复数模长public double absValue() {return Math.sqrt(this.a * this.a + this.b * this.b);}//复数加运算，实部与实部相加，虚部与虚部相加public Complex add(Complex C) {return new Complex(this.a + C.a, this.b + C.b);}//复数相减public Complex minus(Complex C) {return new Complex(this.a - C.a, this.b - C.b);}/*** 复数相乘* a*a1+a*jb1+jb*a1*-b*b1* @param C* @return*/public Complex multiply(Complex C) {double A = this.a * C.a - this.b * C.b;double B = this.a * C.b + this.b * C.a;return new Complex(A, B);}/*** 复数相除* (a + jb) / (c + jd) = [(a + jb) * (c - jd)] / [(c + jd) * (c - jd)]* =[(ac + bd) + j(bc - ad)] / [(c^2 + d^2)]* @param C* @return*/public Complex divide(Complex C) {if (C.a == 0 && C.b == 0) {System.out.println("被除数不能为空！");return null;}double A = (this.a * C.a + this.b * C.b) / (C.a * C.a + C.b * C.b);double B = (this.b * C.a - this.a * C.b) / (C.a * C.a + C.b * C.b);return new Complex(A,B);}//toString方法public String toString() {if (a == 0 && b == 0) {return "复数为空！";}else if (a == 0) {return this.b + "j";}else if (b == 0) {return a + "";}else if (b > 0) {return this.a + "+" + this.b + "j";}else{return this.a + "" + this.b + "j";}}//测试public static void main(String[] args) {Complex c1 = new Complex(1, 2);System.out.println(c1.toString());Complex c2 = c1.conjugate();System.out.println(c2.toString());System.out.println(c1.absValue());}
}

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