如何通过对范德蒙德行列式的学习来领悟数学思维
本文将通过一个概念的阐述来讲述数学思维在具体的数学例子上的运用。
关于n阶范德蒙德行列式的论证
首先为什么会有范德蒙德行列式呢？
我们来观察一下 下面这个命题
是否存在一次函数 y=b+kx（k≠0） ，其图像经过两个不同的点p1p_{1}p1(x1x_{1}x1,y1y_{1}y1),以及p2p_{2}p2(x2x_{2}x2,y2y_{2}y2)？
毫无疑问，对于上过高中的我们都知道，两点即可确定唯一一条直线。
但是别慌，要是这么简单，怎么能够体现数学思维的厉害之处？
第一步 ，我们需要抽象出一个数学模型或者一个概念来描述这个问题，对于范德蒙德行列式来说，我选取了一个比较简单的概念。
对于这样一个一次函数的存在性，我们的想法很简单，如果我能把一次函数里面的两个未知量k,b解出来的话，就说明存在一个一次函数过这两个不同点，反之解不出来，就证明不存在。
很自然而然的，我们将问题转变成求解未知量的解方程的问题，也即一个二元一次方程组的求解问题。
y1y_{1}y1=b+x1x_{1}x1·k (k ≠0 ）
y2y_{2}y2=b+x2x_{2}x2·k (k ≠0 ） 若使该方程组有解且k≠0，由矩阵的知识我们可以观察方程的系数矩阵的行列式与0的关系，来对方程组解的情况进行判定
即
∣1x11x2∣\left|\begin{array}{cccc} 1 & x_{1} \\ 1 & x_{2}\\ \end{array}\right|∣∣∣∣11x1x2∣∣∣∣=x2−x1x_{2}-x_{1}x2−x1 （这里的矩阵进行了一步提取公因式b，不影响对问题的分析）
分析：1.当x1=x2x_{1}=x_{2}x1=x2时，行列式等于0时，二元一次方程无解（因为相等时违反前提条件:p1,p2p_{1},p_{2}p1,p2为不同点，且k≠0）
2.当x1x_{1}x1 ≠ x2x_{2}x2时，方程组有唯一解，为了使k≠0，需有y1y_{1}y1≠y2y_{2}y2,从而有当 x1x_{1}x1 ≠ x2x_{2}x2且y1y_{1}y1≠y2y_{2}y2
时，存在唯一一个二元一次方程组的解，y=kx+by=kx+by=kx+b,其图像过p1p_{1}p1(x1x_{1}x1,y1y_{1}y1),p2p_{2}p2(x2x_{2}x2,y2y_{2}y2)。
接下来我们来进行对该现象的探索
由于上述问题存在两个未知量，属于二维空间的解，那么我们观察如果是在更高的维度上他们的的表述又是怎么样的呢？如果你仔细观察过上面的命题的话，你会发现这其实有点像是一个典型的插值问题，通过插值点来求解多项式的命题。
那么我们再来看看在三维的情况下他是怎么样的呢。
假设我们已知三个点p1(x1,y1),p2(x2,y2),p3(x3,y3)p_{1}(x_{1},y_{1}),p_{2}(x_{2},y_{2}),p_{3}(x_{3},y_{3})p1(x1,y1),p2(x2,y2),p3(x3,y3),求解存在一个二次多项式，使p1,p2,p3p_{1},p_{2},p_{3}p1,p2,p3使三个点都在其上。
自然而然的有
y1=a+bx1+cx12y_{1}=a+bx_{1}+cx_{1}^{2}y1=a+bx1+cx12
y2=a+bx2+cx22y_{2}=a+bx_{2}+cx_{2}^{2}y2=a+bx2+cx22
y3=a+bx3+cx32y_{3}=a+bx_{3}+cx_{3}^{2}y3=a+bx3+cx32
写成系数矩阵形式则为 ∣1x1x121x2x221x3x32∣\left|\begin{array}{cccc} 1 & x_{1} & x_{1}^{2}\\ 1 & x_{2}&x_{2}^{2}\\ 1 & x_{3} &x_{3}^{2}\\ \end{array}\right|∣∣∣∣∣∣111x1x2x3x12x22x32∣∣∣∣∣∣
这里我们引用行列式展开的定理 将行列式进行化简展开
首先将第一列的元素除了第一行以外均化成0 则有 ∣1x1x120x2−x1x22−x120x3−x1x32−x12∣\left|\begin{array}{cccc} 1 & x_{1} & x_{1}^{2}\\ 0 & x_{2}-x_{1}&x_{2}^{2}-x_{1}^{2}\\ 0 & x_{3}-x_{1} &x_{3}^{2}-x_{1}^{2}\\ \end{array}\right|∣∣∣∣∣∣100x1x2−x1x3−x1x12x22−x12x32−x12∣∣∣∣∣∣，展开后并提取公因子后可得
(x2−x1)(x3−x1)∣1x2+x11x3+x1∣(x_{2}-x_{1})(x_{3}-x_{1})\left|\begin{array}{cccc} 1&x_{2}+x_{1}\\ 1&x_{3}+x_{1}\\ \end{array}\right|(x2−x1)(x3−x1)∣∣∣∣11x2+x1x3+x1∣∣∣∣，并且∣1x2+x11x3+x1∣\left|\begin{array}{cccc} 1&x_{2}+x_{1}\\ 1&x_{3}+x_{1}\\ \end{array}\right|∣∣∣∣11x2+x1x3+x1∣∣∣∣=∣1x21x3∣\left|\begin{array}{cccc} 1&x_{2}\\ 1&x_{3}\\ \end{array}\right|∣∣∣∣11x2x3∣∣∣∣+∣1x11x1∣\left|\begin{array}{cccc} 1&x_{1}\\ 1&x_{1}\\ \end{array}\right|∣∣∣∣11x1x1∣∣∣∣后者等于０
所以有 ∣1x1x120x2−x1x22−x120x3−x1x32−x12∣\left|\begin{array}{cccc} 1 & x_{1} & x_{1}^{2}\\ 0 & x_{2}-x_{1}&x_{2}^{2}-x_{1}^{2}\\ 0 & x_{3}-x_{1} &x_{3}^{2}-x_{1}^{2}\\ \end{array}\right|∣∣∣∣∣∣100x1x2−x1x3−x1x12x22−x12x32−x12∣∣∣∣∣∣=(x2−x1)(x3−x1)(x_{2}-x_{1})(x_{3}-x_{1})(x2−x1)(x3−x1) (x3−x2）(x_{3}-x_{2}）(x3−x2）
也即 ∣1x1x121x2x221x3x32∣\left|\begin{array}{cccc} 1 & x_{1} & x_{1}^{2}\\ 1 & x_{2}&x_{2}^{2}\\ 1 & x_{3} &x_{3}^{2}\\ \end{array}\right|∣∣∣∣∣∣111x1x2x3x12x22x32∣∣∣∣∣∣=(x2−x1)(x3−x1)(x_{2}-x_{1})(x_{3}-x_{1})(x2−x1)(x3−x1) (x3−x2）(x_{3}-x_{2}）(x3−x2）
将上述问题推广到n-1次多项式，研究形如下述的n阶行列式。
按照数学思维，这一步称之为探索，考虑在n-1次多项式中的情况，
∣111...1x1x2x3...xnx12x22x32...xn2...............x1n−1x2n−1x3n−1...xnn−1∣\left|\begin{array}{cccc} 1 & 1 & 1&...&1\\ x_{1}& x_{2}&x_{3}&...&x_{n}\\ x_{1}^{2}&x_{2}^{2}&x_{3}^{2}&...&x_{n}^{2}\\ ...&...&...&...&...\\x_{1}^{n-1}&x_{2}^{n-1}&x_{3}^{n-1}&...&x_{n}^{n-1}\\\end{array}\right|∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣1x1x12...x1n−11x2x22...x2n−11x3x32...x3n−1...............1xnxn2...xnn−1∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣
再下一步则是猜测，猜测n节范德蒙德行列式的值的形式 ，根据上面二维以及三维的情况我们不难猜测n阶范德蒙德行列式的解的形式是这样子的
∣111...1x1x2x3...xnx12x22x32...xn2...............x1n−1x2n−1x3n−1...xnn−1∣\left|\begin{array}{cccc} 1 & 1 & 1&...&1\\ x_{1}& x_{2}&x_{3}&...&x_{n}\\ x_{1}^{2}&x_{2}^{2}&x_{3}^{2}&...&x_{n}^{2}\\ ...&...&...&...&...\\x_{1}^{n-1}&x_{2}^{n-1}&x_{3}^{n-1}&...&x_{n}^{n-1}\\\end{array}\right|∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣1x1x12...x1n−11x2x22...x2n−11x3x32...x3n−1...............1xnxn2...xnn−1∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣= (x2−x1)(x3−x1)(x4−x1)...(xn−x1)(x_{2}-x_{1})(x_{3}-x_{1})(x_{4}-x_{1})...(x_{n}-x_{1})(x2−x1)(x3−x1)(x4−x1)...(xn−x1)
(x3−x2)(x4−x2)...(xn−x2)(x_{3}-x_{2})(x_{4}-x_{2})...(x_{n}-x_{2})(x3−x2)(x4−x2)...(xn−x2)
........................
(xn−1−xn−2)(xn−xn−2)(x_{n-1}-x_{n-2})(x_{n}-x_{n-2})(xn−1−xn−2)(xn−xn−2)
(xn−xn−1)(x_{n}-x_{n-1})(xn−xn−1)
对范德蒙德行列式的解的形式猜测过后，我们还要论证猜测的正确性，这一步也是我们通常所接触的证明过程。
我们将结果稍稍简化一下可写成这样的形式
(x2−x1)(x3−x1)(x4−x1)...(xn−x1)(x_{2}-x_{1})(x_{3}-x_{1})(x_{4}-x_{1})...(x_{n}-x_{1})(x2−x1)(x3−x1)(x4−x1)...(xn−x1)=∏1≤j≤i≤n(xi−xj)(其中∏是连乘号)\prod_{1\leq j \leq i\leq n}(x_{i}-x_{j}) ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~(其中\prod 是连乘号)∏1≤j≤i≤n(xi−xj) (其中∏是连乘号)
(x3−x2)(x4−x2)...(xn−x2)(x_{3}-x_{2})(x_{4}-x_{2})...(x_{n}-x_{2})(x3−x2)(x4−x2)...(xn−x2)
........................
(xn−1−xn−2)(xn−xn−2)(x_{n-1}-x_{n-2})(x_{n}-x_{n-2})(xn−1−xn−2)(xn−xn−2)
(xn−xn−1)(x_{n}-x_{n-1})(xn−xn−1)
下面是论证过程
证明： 对范德蒙德行列式的阶数n做数学归纳法
1.当n=2时 ∣1x11x2∣\left|\begin{array}{cccc} 1 & x_{1} \\ 1 & x_{2}\\ \end{array}\right|∣∣∣∣11x1x2∣∣∣∣=x2−x1x_{2}-x_{1}x2−x1 成立
2.假设对n-1阶的范德蒙德行列式成立，下面我们来观察n阶范德蒙德行列式的
∣111...1x1x2x3...xnx12x22x32...xn2...............x1n−1x2n−1x3n−1...xnn−1∣\left|\begin{array}{cccc} 1 & 1 & 1&...&1\\ x_{1}& x_{2}&x_{3}&...&x_{n}\\ x_{1}^{2}&x_{2}^{2}&x_{3}^{2}&...&x_{n}^{2}\\ ...&...&...&...&...\\x_{1}^{n-1}&x_{2}^{n-1}&x_{3}^{n-1}&...&x_{n}^{n-1}\\\end{array}\right|∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣1x1x12...x1n−11x2x22...x2n−11x3x32...x3n−1...............1xnxn2...xnn−1∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣将每一行乘上一个(−x1)(-x_{1})(−x1)加到下一行得到(这样的行有n行)→\rightarrow→
∣111...10x2−x1x3−x1...xn−x10x22−x2x1x32−x3x1...xn2−xnx1...............0x2n−1−x2n−2x1x3n−1−x3n−2x1...xnn−1−xnn−2x1∣~~~~~~~\left|\begin{array}{cccc} 1 & 1 & 1&...&1\\ 0& x_{2}-x_{1}&x_{3}-x_{1}&...&x_{n}-x_{1}\\ 0&x_{2}^{2}-x_{2}x_{1}&x_{3}^{2}-x_{3}x_{1}&...&x_{n}^{2}-x_{n}x_{1}\\ ...&...&...&...&...\\0&x_{2}^{n-1}-x_{2}^{n-2}x_{1}&x_{3}^{n-1}-x_{3}^{n-2}x_{1}&...&x_{n}^{n-1}-x_{n}^{n-2}x_{1}\\\end{array}\right| ∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣100...01x2−x1x22−x2x1...x2n−1−x2n−2x11x3−x1x32−x3x1...x3n−1−x3n−2x1...............1xn−x1xn2−xnx1...xnn−1−xnn−2x1∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣将行列式按照第一列展开后得到
→\rightarrow→∣x2−x1x3−x1...xn−x1x22−x2x1x32−x3x1...xn2−xnx1............x2n−1−x2n−2x1x3n−1−x3n−2x1...xnn−1−xnn−2x1∣~~~~~~~~~~~~~~~~~~\left|\begin{array}{cccc} x_{2}-x_{1}&x_{3}-x_{1}&...&x_{n}-x_{1}\\ x_{2}^{2}-x_{2}x_{1}&x_{3}^{2}-x_{3}x_{1}&...&x_{n}^{2}-x_{n}x_{1}\\ ...&...&...&... \\x_{2}^{n-1}-x_{2}^{n-2}x_{1}&x_{3}^{n-1}-x_{3}^{n-2}x_{1}&...&x_{n}^{n-1}-x_{n}^{n-2}x_{1}\\\end{array}\right| ∣∣∣∣∣∣∣∣x2−x1x22−x2x1...x2n−1−x2n−2x1x3−x1x32−x3x1...x3n−1−x3n−2x1............xn−x1xn2−xnx1...xnn−1−xnn−2x1∣∣∣∣∣∣∣∣将每一列提取一个公因式(xn+1−x1)(x_{n+1}-x_{1})(xn+1−x1)于是行列式就可以写成(x2−x1)(x3−x1)(x4−x1)...(xn−x1)∣111...1x1x2x3...xnx12x22x32...xn2...............x1n−2x2n−2x3n−2...xnn−2∣~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~(x_{2}-x_{1})(x_{3}-x_{1})(x_{4}-x_{1})...(x_{n}-x_{1})\left|\begin{array}{cccc} 1 & 1 & 1&...&1\\ x_{1}& x_{2}&x_{3}&...&x_{n}\\ x_{1}^{2}&x_{2}^{2}&x_{3}^{2}&...&x_{n}^{2}\\ ...&...&...&...&...\\x_{1}^{n-2}&x_{2}^{n-2}&x_{3}^{n-2}&...&x_{n}^{n-2}\\\end{array}\right| (x2−x1)(x3−x1)(x4−x1)...(xn−x1)∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣1x1x12...x1n−21x2x22...x2n−21x3x32...x3n−2...............1xnxn2...xnn−2∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣（注意这个行列式即为第n−1阶范德蒙德行列式（注意这个行列式即为第n-1阶范德蒙德行列式（注意这个行列式即为第n−1阶范德蒙德行列式
因此可证得：范德蒙德行列式|A|可以写成下列的形式
∣111...1x1x2x3...xnx12x22x32...xn2...............x1n−1x2n−1x3n−1...xnn−1∣\left|\begin{array}{cccc} 1 & 1 & 1&...&1\\ x_{1}& x_{2}&x_{3}&...&x_{n}\\ x_{1}^{2}&x_{2}^{2}&x_{3}^{2}&...&x_{n}^{2}\\ ...&...&...&...&...\\x_{1}^{n-1}&x_{2}^{n-1}&x_{3}^{n-1}&...&x_{n}^{n-1}\\\end{array}\right|∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣1x1x12...x1n−11x2x22...x2n−11x3x32...x3n−1...............1xnxn2...xnn−1∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣=∏1≤j≤i≤n(xi−xj)(其中∏是连乘号)\prod_{1\leq j \leq i\leq n}(x_{i}-x_{j}) ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~(其中\prod 是连乘号)∏1≤j≤i≤n(xi−xj) (其中∏是连乘号)
最后应该是揭示出事物的内在规律，这个内在规律我觉得应该就是应用，你学了一个东西，当然是想着运用，那下面我们来看看范德蒙德行列式在插值问题的运用。
还是已知三点p1(x1,y1),p2(x2,y2),p3(x3,y3)p_{1}(x_{1},y_{1}),p_{2}(x_{2},y_{2}),p_{3}(x_{3},y_{3})p1(x1,y1),p2(x2,y2),p3(x3,y3)求二次多项式y=a+bx+cx2(a,b,c是未知量)y=a+bx+cx^{2}(a,b,c是未知量)y=a+bx+cx2(a,b,c是未知量)
可以写成
[1x1x121x2x221x3x32]\left[\begin{array}{cccc} 1 & x_{1} & x_{1}^{2}\\ 1 & x_{2}&x_{2}^{2}\\ 1 & x_{3} &x_{3}^{2}\\ \end{array}\right]⎣⎡111x1x2x3x12x22x32⎦⎤[abc]\left[\begin{array}{cccc}a\\b\\c\\ \end{array}\right]⎣⎡abc⎦⎤=[y1y2y3]\left[\begin{array}{cccc}y_{1}\\y_{2}\\y_{3}\\ \end{array}\right]⎣⎡y1y2y3⎦⎤显然最左边矩阵的行列式即为范德蒙德行列，即可利用上述所得结论，下面不详细解出答案了。
看懂本文需要对行列式的性质和数学归纳法有所了解即可
如行列式的转置，按列展开等
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