2017.3.19 约数个数和失败总结

这个题一眼上去应该不是很难，但除了求约数个数有个分解质因数的技巧之外就不会什么了；；

本来想着预处理50000以内的约数个数和之后求个前缀和直接乘、、、可见多么蠢、、搞了2h后弃疗了

结果题解是要算gcd (。_。)

还有莫比乌斯反演、、、 …(⊙＿⊙；)…

好吧，先借机学一下莫比乌斯反演、、

其实这道题几乎就是为莫比乌斯而生的（~~板子题~~）

似乎是函数的反函数、、

所以叫反演、、 (*゜ー゜*)

而这个μ函数就是传说中的的莫比乌斯函数；

要注意是F(n/d)

那这个要怎么用？

那此题来说，首先要证明这个式子：

为什么会和gcd有关？

若i和j互质，那么i*j就是对于d（mn）唯一的约数

如果不互质，那么i和j还能再拆出几个数，作为约数

如 i=4 j=6，n=8，j=12；；

i=2*2 j=2*3

那么 i*j=2*2*2*3

可以写出互质的8 * 3

在循环到i=8，j=3时会被算进去、

而这些拆出的数一定可以对答案贡献1

所以用了bool；；

然后原式相当于求1~n、1~m的和：

根据 sigma交换律和可以处理处的某个积性函数μ可以得出莫比乌斯反演，：

（~~就是套公式~~，【gcd（a，b）==1】= Σ（d|i，d|j）μ（d））

注意μ是根据d能否整除i、d能否整除j 对d的一个函数，返回数值

有人可能要问gcd的判断和 i、j、d的整除关系得到的函数有什么关系？

注意多了一个Σ：也就是说它是先用前面四坨Σ枚举了1~n、 1~m所有可能的约数、、而这最后一个Σ则是枚举约数的约数、、（当然，默认N<M）

若d既整除了i，又整除了j，则i和j不互质，它有公因数d、、、

~~然后就不会了~~

我们注意到会有很多重复，重复的个数为下取整（N/i）所以可以用乘法优化加法，干掉两个Σ、、

这是反演的一步通用优化

再从d（约数）的角度交换一下位置：

对于每个d都要乘每种可能的i、j搭配，但对于n、m只会出现n/d、m/d次，每次搭配又会产生n/（i*d）、 m/（j*d）个重复

所以都可以乘起来再加

把最右边两项的d写到分子：

我们可以发现有两个不相关的项，可以独立处理：

而且这两个函数计算方式一毛一样，只是定义域值域不一样所以：

就可以化为：

分别处理f函数，再用线筛求出μ函数，就可以做了；；；

码：

#include<iostream>
#include<cstdio>
using namespace std;
#define ll long long
int mu[50001];
ll f[50001],ans;int i,j,n,tot,su[50001],k,t,m;
bool vis[50001];
void eular()
{mu[1]=1;  for(int i=2;i<=50000;i++){if(!vis[i]){su[++tot]=i;mu[i]=-1;//质数统一为 -1 }for(j=1;i*su[j]<50000&&j<=tot;j++){vis[i*su[j]]=1;if(i%su[j]) {mu[i*su[j]]=-mu[i];//合数如果没有>2的次方的质数就看元素个数（取反，即为（-1）^n） }else {mu[i*su[j]]=0;//合数如果是p^n形式，mu就是0 break;}           }           }for (i=2; i<=50000; i++) mu[i]+=mu[i-1];  //处理前缀和（因为题目有Σ） for (i=1; i<=50000; i++)  //计算f for (j=1; j<=i; j=k+1){  k=i/(i/j);               //可能有点mengbi，k存的是最大的i/j，同 余数之和sum一题 f[i]+=(ll)(k-j+1)*(i/j);   //用乘法加速连加}
}
int main()
{     scanf("%d",&t); eular();
while(t--)
{ scanf("%d%d",&n,&m);ans=0;for (i=1; i<=m && i<=n; i=j+1){//枚举p，计算贡献  j=min(m/(m/i),n/(n/i));  //同余数之和sum的计算方式 ans+=f[m/i]*f[n/i]*(mu[j]-mu[i-1]);//用公式+前缀和统计答案  }if(t)printf("%lld\n",ans);  else printf("%lld",ans);
}
}

莫比乌斯反演就是一个渠道，可以通过这个渠道对看似没有办法化简的式子转化为若干子函数，这样复杂度就会降低、

但式子的转化极其灵活，必须确保每一步正确性，

可以说，能用莫比乌斯反演的题都需要极强的数学敏感度和缜密的推理

当然，暴力性价比高、

附一张反演函数计算法则：

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