和与余数的和同余理解_余数与同余解析
1
六
余数和同余
1.
有余数的除法各部分之间的关系：
被除数
=
除数×商＋余数
被除数－余数﹦商×除法
2.
除法算式的特征
:
余数＜除数
3.
有关余数问题的性质：
性质
1
：如果两个整数
a,b
除以同一个数
m
，而余数相同，那么
a
和
b
的差能被
m
整
除。
性质
2
：对于同一个除数，如果两个整数同余，那么他们的差就一定能被这个数整除。
性质
3
：对于同一个除数，如果两个整数同余，那么他们的乘方仍然同余。
解答同余类型题目的关键是灵活运用性质，把求一个比较大的数字除以某数的余数问
题转化为求一个较小数除以这个数的余数，使复杂的问题变得简单化。
1.
把题目转化为算式就是：□÷
7
﹦□„„□
余数要比除数
7
小，商和余数相同，题中商和余数可能是
0
、
1
、
2
、
3
、
4
、
5
、
6
，带
入原式。根据被除数﹦商×除法＋余数，算得：
0
×
7
＋
0
﹦
0
；
1
×
7
＋
1
﹦
8
；
2
×
7
＋
2
﹦
16
；
3
×
7
＋
3
﹦
24
；
4
×
7
＋
4
﹦
32
；
5
×
7
＋
5
﹦
40
；
6
×
7
＋
6
﹦
48
。
所求被除数可能是：
0
、
8
、
16
、
24
、
32
、
40
、
48
。
一个三位数被
37
除余
17
，被
36
除余
3
，那么这个三位数是多少？有啥好方法吗？
这道题可采取经典的余数处理方法
------
凑。
这个凑，可不是漫无目的的凑。而是有理有据才行。
1
、找一个最小的自然数，满足除以
37
余
17
，当然
17
即可满足。
2
、很显然，这个数除以
36
并不余
3
，作适当调整。
3
、为了不改变
37
的那个余数，每次可加上一个
37.
4
、每加一次
37
，除以
36
的那个余数就增加
1
(记住，不要计算被除数是多少，而采
取的是余数的性质。被除数扩大一倍，余数也扩大一倍，被除数增加几，余数也会增
加几(或者除以除数的余数)
)
5
、因为我们要求的数除以
36
要余
3
，现在只是余
17
，即达到
36
后再多出
3
，即余
39
(注意，这里用的是扩展余数)
，还差
39-17=22.
所以要增加
22
个
37.
6
、结果是
17+22×
37
即为答案。
在作除法运算时，我们有这样的经验：
(1)
一些不同的数除以一个相同的数可能会得到相同的余数
.
如，
除以
5
余
3
的数有
5
×
1+3=8
，
5
×
2+3=13
，
5
×
3+3=18
，
5
×
4+3=23
，
(2)
一个相同的数除以一些不同的数，可能会有相同的余数
.
如，
389
分别除以
5
、
7
和
11
会得到相同的余数
4.
389
÷
5=77
„„余
4
，
389
÷
7=55
„„余
4
，
389
÷
11=55
„„余
4.
由此，我们可以来讨论下面的两个问题
.
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