最初知道跳表(Skip List)是在看redis原理的时候，redis中的有序集合使用了跳表作为数据结构。接着就查了一些资料，来学习一下跳表。后面会使用java代码来实现跳表。

跳表简介

跳表由William Pugh发明。他在论文《Skip lists: a probabilistic alternative to balanced trees》中详细介绍了跳表的数据结构和插入删除等操作。论文是这么介绍跳表的：

Skip lists are a data structure that can be used in place of balanced trees.

Skip lists use probabilistic balancing rather than strictly enforced balancing and as a result the algorithms for insertion and deletion in skip lists are much simpler and significantly faster than equivalent algorithms for balanced trees.

也就是说，跳表可以用来替代红黑树，使用概率均衡技术，插入、删除操作更简单、更快。

作者在文章中由链表的查找一步步引入到跳表的介绍。首先来看论文里的一张图：

上图a，已排好序的链表，查找一个结点最多需要比较N个结点。

上图b，每隔2个结点增加一个指针，指向该结点间距为2的后续结点，那么查找一个结点最多需要比较ceil(N/2)+1个结点。

上图c，每隔4个结点增加一个指针，指向该结点间距为4的后续结点，那么查找一个结点最多需要比较ceil(N/4)+1个结点。

如果每第2^i个结点都有一个指向间距为2^i的后续结点的指针，这样不断增加指针，比较次数会降为log(N)。这样的话，搜索会很快，但插入和删除会很困难。

一个拥有k个指针的结点称为一个k层结点(level k node)。按照上面的逻辑，50%的结点为1层，25%的结点为2层，12.5%的结点为3层...如果每个结点的层数随机选取，但仍服从这样的分布呢(上图e，对比上图d)？

使一个k层结点的第i个指针指向第i层的下一个结点，而不是它后面的第2^(i-1)个结点，那么结点的插入和删除只需要原地修改操作；一个结点的层数，是在它被插入的时候随机选取的，并且永不改变。因为这样的数据结构是基于链表的，并且额外的指针会跳过中间结点，所以作者称之为跳表(Skip Lists)。

跳表的算法

原始论文使用伪代码的形式来描述算法。本文以java语言来描述算法。

首先定义一下需要用的数据结构。表中的元素使用结点来表示，结点的层数在它被插入时随机计算决定(与表中已有结点数目无关)。一个i层的结点有i个前向指针(java中使用结点对象数组forward来表示)，索引为从1到i。用MaxLevel来记录跳表的最大层数。跳表的层数为当前所有结点中的最大层数(如果list为空，则层数为1)。列表头header拥有从1到MaxLevel的前向指针：

public class SkipList {

// 最高层数

private final int MAX_LEVEL;

// 当前层数

private int listLevel;

// 表头

private SkipListNode listHead;

// 表尾

private SkipListNode NIL;

// 生成randomLevel用到的概率值

private final double P;

// 论文里给出的最佳概率值

private static final double OPTIMAL_P = 0.25;

public SkipList() {

// 0.25, 15

this(OPTIMAL_P, (int)Math.ceil(Math.log(Integer.MAX_VALUE) / Math.log(1 / OPTIMAL_P)) - 1);

}

public SkipList(double probability, int maxLevel) {

P = probability;

MAX_LEVEL = maxLevel;

listLevel = 1;

listHead = new SkipListNode(Integer.MIN_VALUE, null, maxLevel);

NIL = new SkipListNode(Integer.MAX_VALUE, null, maxLevel);

for (int i = listHead.forward.length - 1; i >= 0; i--) {

listHead.forward[i] = NIL;

}

}

// 内部类

class SkipListNode {

int key;

T value;

SkipListNode[] forward;

public SkipListNode(int key, T value, int level) {

this.key = key;

this.value = value;

this.forward = new SkipListNode[level];

}

}

}

搜索

按key搜索，找到返回该key对应的value，未找到则返回null。

通过遍历forward数组来需找特定的searchKey。假设skip list的key按照从小到大的顺序排列，那么从跳表的当前最高层listLevel开始寻找searchKey。在某一层找到一个非小于searchKey的结点后，跳到下一层继续找，直到最底层为止。那么根据最后搜索停止位置的下一个结点，就可以判断searchKey在不在跳表中。

下图为在跳表中找8的过程：

插入和删除

插入的删除的方法相似，都是通过查找与连接(search and splice)，如下图：

维护一个update数组，在搜索结束之后，update[i]保存的是待插入/删除结点在第i层的左侧结点。

1. 插入

若key不存在，则插入该key与对应的value；若key存在，则更新value。

如果待插入的结点的层数高于跳表的当前层数listLevel，则更新listLevel。

选择待插入结点的层数randomLevel：

randomLevel只依赖于跳表的最高层数和概率值p。算法在后面的代码中。

另一种实现方法为，如果生成的randomLevel大于当前跳表的层数listLevel，那么将randomLevel设置为listLevel+1，这样方便以后的查找，在工程上是可以接受的，但同时也破坏了算法的随机性。

2. 删除

删除特定的key与对应的value。

如果待删除的结点为跳表中层数最高的结点，那么删除之后，要更新listLevel。

java版代码

参考了网上的一些代码，用java写了一版，包含main函数，可运行。

public class SkipList {

// 最高层数

private final int MAX_LEVEL;

// 当前层数

private int listLevel;

// 表头

private SkipListNode listHead;

// 表尾

private SkipListNode NIL;

// 生成randomLevel用到的概率值

private final double P;

// 论文里给出的最佳概率值

private static final double OPTIMAL_P = 0.25;

public SkipList() {

// 0.25, 15

this(OPTIMAL_P, (int)Math.ceil(Math.log(Integer.MAX_VALUE) / Math.log(1 / OPTIMAL_P)) - 1);

}

public SkipList(double probability, int maxLevel) {

P = probability;

MAX_LEVEL = maxLevel;

listLevel = 1;

listHead = new SkipListNode(Integer.MIN_VALUE, null, maxLevel);

NIL = new SkipListNode(Integer.MAX_VALUE, null, maxLevel);

for (int i = listHead.forward.length - 1; i >= 0; i--) {

listHead.forward[i] = NIL;

}

}

// 内部类

class SkipListNode {

int key;

T value;

SkipListNode[] forward;

public SkipListNode(int key, T value, int level) {

this.key = key;

this.value = value;

this.forward = new SkipListNode[level];

}

}

public T search(int searchKey) {

SkipListNode curNode = listHead;

for (int i = listLevel; i > 0; i--) {

while (curNode.forward[i].key < searchKey) {

curNode = curNode.forward[i];

}

}

if (curNode.key == searchKey) {

return curNode.value;

} else {

return null;

}

}

public void insert(int searchKey, T newValue) {

SkipListNode[] update = new SkipListNode[MAX_LEVEL];

SkipListNode curNode = listHead;

for (int i = listLevel - 1; i >= 0; i--) {

while (curNode.forward[i].key < searchKey) {

curNode = curNode.forward[i];

}

// curNode.key < searchKey <= curNode.forward[i].key

update[i] = curNode;

}

curNode = curNode.forward[0];

if (curNode.key == searchKey) {

curNode.value = newValue;

} else {

int lvl = randomLevel();

if (listLevel < lvl) {

for (int i = listLevel; i < lvl; i++) {

update[i] = listHead;

}

listLevel = lvl;

}

SkipListNode newNode = new SkipListNode(searchKey, newValue, lvl);

for (int i = 0; i < lvl; i++) {

newNode.forward[i] = update[i].forward[i];

update[i].forward[i] = newNode;

}

}

}

public void delete(int searchKey) {

SkipListNode[] update = new SkipListNode[MAX_LEVEL];

SkipListNode curNode = listHead;

for (int i = listLevel - 1; i >= 0; i--) {

while (curNode.forward[i].key < searchKey) {

curNode = curNode.forward[i];

}

// curNode.key < searchKey <= curNode.forward[i].key

update[i] = curNode;

}

curNode = curNode.forward[0];

if (curNode.key == searchKey) {

for (int i = 0; i < listLevel; i++) {

if (update[i].forward[i] != curNode) {

break;

}

update[i].forward[i] = curNode.forward[i];

}

while (listLevel > 0 && listHead.forward[listLevel - 1] == NIL) {

listLevel--;

}

}

}

private int randomLevel() {

int lvl = 1;

while (lvl < MAX_LEVEL && Math.random() < P) {

lvl++;

}

return lvl;

}

public void print() {

for (int i = listLevel - 1; i >= 0; i--) {

SkipListNode curNode = listHead.forward[i];

while (curNode != NIL) {

System.out.print(curNode.key + "->");

curNode = curNode.forward[i];

}

System.out.println("NIL");

}

}

public static void main(String[] args) {

SkipList sl = new SkipList();

sl.insert(20, 20);

sl.insert(5, 5);

sl.insert(10, 10);

sl.insert(1, 1);

sl.insert(100, 100);

sl.insert(80, 80);

sl.insert(60, 60);

sl.insert(30, 30);

sl.print();

System.out.println("---");

sl.delete(20);

sl.delete(100);

sl.print();

}

}

参考资料