零、读前说明

• 本文中所有设计的代码均通过测试，并且在功能性方面均实现应有的功能。
• 设计的代码并非全部公开，部分无关紧要代码并没有贴出来。
• 如果你也对此感兴趣、也想测试源码的话，可以私聊我，非常欢迎一起探讨学习。
• 由于时间、水平、精力有限，文中难免会出现不准确、甚至错误的地方，也很欢迎大佬看见的话批评指正。
• 时隔三个月，我终于回来了，嘻嘻。。。。 。。。。。。。。收！

摘要

  图是一种非线性的数据结构，图的遍历指的是 从图中的某一顶点出发，沿着一些边访问图中所有的顶点，使得每个顶点都被访问且仅被访问一次。根据遍历路径的不同，通常有两种遍历图的方法：深度优先遍历(Depth First Search )和广度优先遍历(Breadth First Search )。它们对无向图和有向图都适用，图的遍历算法是求解图的连通性问题、拓扑排序和求关键路径等算法的基础。

一、概 述

  由于图结构本身的复杂性，所以图的遍历操作也较复杂，主要表现在以下四个方面：

  ① 在图结构中，没有一个 “自然” 的首结点，图中任意一个顶点都可作为第一个被访问的结点。
  ② 在非连通图中，从一个顶点出发，只能够访问它所在的连通分量上的所有顶点，因此，还需考虑如何选取下一个出发点以访问图中其余的连通分量。
  ③ 在图结构中，如果有回路存在，且图中的任意一个顶点可能与其他顶点相通，那么一个顶点被访问之后，有可能沿回路又回到该顶点。
  ④ 在图结构中，一个顶点可以和其它多个顶点相连，当这样的顶点访问过后，存在如何选取下一个要访问的顶点的问题。

  所以在进行图的遍历过程中，一般情况下，对于上述的问题：

  1 、遍历开始，一般 随机选择一个顶点作为起始顶点
  2 、对于非连通图，一般都是 进行多次调用遍历算法（nnn 个非连通图需要调用nnn 次遍历算法）
  3 、图中可能存在回路，所以 设置访问标志数组 visted[nnn]（nnn 为顶点的个数），用来表示每个被访问的顶点。
  4 、一般情况下采用 深度优先遍历 和 广度优先遍历

  图的遍历可分为四类：

    遍历完所有的边而不能有重复，即所谓“一笔画问题”或“欧拉路径”；
    遍历完所有的顶点而没有重复，即所谓“哈密尔顿问题”；
    遍历完所有的边而可以有重复，即所谓“中国邮递员问题”；
    遍历完所有的顶点而可以重复，即所谓“旅行推销员问题”。

  那么下面开始深度优先遍历（DFS）、广度优先遍历（BFS）的过程说明。

二、深度优先遍历（DFS）

2.1、无向图的遍历过程

  首先来看看 无向图遍历的过程说明，以下图为例。

图2.1 无向图遍历的过程示意图   

  根据图例，我们可以画出此图的简单的邻接矩阵，以下图为例。

图2.2 无向图邻接矩阵示意图   

  1、假设访问起始遍历的顶点为顶点 A（图 2.1中 1 所指），同时标记为已访问（下同，不再赘述）；
  2、然后开始访问顶点 A 的邻接点（分别为顶点 B 、顶点 C 、顶点 D（对应于上图 2.2中的第 0 行，即顶点 A的邻接点） ，（遍历规则设定为 按照顶点的编号小的优先，即先小后大，其实邻接矩阵的遍历顺序也是按照编号进行从小到大的依次遍历））。所以首先进行遍历顶点 B（图 2.1中 2 所指，对应于上图 2.2中的第 1 行）， B 为第一次访问，然后再继续遍历顶点 C（图 2.1中 3 所指对应于上图 2.2中的第 3 行）且顶点 C为第一次访问，然后遍历顶点 C 的邻接点；
  3、从图 2.1中可以看出，顶点 C 的邻接点为顶点 A 和顶点 B ，经判断顶点 A 已经被访问，所以需要回退到顶点 B （图 2.1中 4 所指），然后继续遍历顶点 B 的的邻接点（顶点 E ，顶点 F ）；
  4、按照编号小的优先原则，继续遍历顶点 E （图 2.1中 5 所指，对应于上图 2.2中的第 5 行），然后再继续遍历顶点 D（图 2.1中 6 所指，对应于上图 2.2中的第 4 行），同理 D 的邻接点（顶点 A 、顶点 D ）均已经被访问，再回退到顶点 B （图 2.1中 7、8 所指）。继续遍历顶点 B 的邻接点顶点 F（图 2.1中 9 所指，对应于上图 2.2中的第 6 行）；
  5、顶点 F 没有后续邻接点，遍历完成，按照图 2.1中 10、11 所指回退到起始位置，至此遍历完成。

  所以遍历的顺序为： A -> B -> C -> E -> D -> F

2.2、有向图的遍历过程

  来看看 有向图遍历的过程说明，以下图为例。

图2.3 有向图遍历的过程示意图   

  根据图例，我们可以画出此图的简单的邻接矩阵，以下图为例。

图2.4 有向图邻接矩阵示意图   

  有向图遍历的过程说明：

  1、假设访问起始遍历的顶点为顶点 A（图中 1 所指），同时标记为已访问（下同，不再赘述）；
  2、然后开始访问顶点 A 的邻接点（分别为顶点 B 、顶点 C 、顶点 D 。（遍历规则设定为 按照顶点的编号小的优先，即先小后大，其实邻接矩阵的遍历顺序也是按照编号进行从小到大的依次遍历））。所以首先进行遍历顶点 B（图中 2 所指）， B 为第一次访问，然后再继续遍历顶点 B 的邻接点（顶点 E ，顶点 F ），按照编号小的优先原则，遍历顶点 E （图中 3 所指）且顶点 E为第一次访问，然后遍历顶点 E 的邻接点。顶点 E 没有邻接点，所以进行回退操作，回退到顶点 B ，然后遍历顶点 F （图中 5 所指）；
  3、然后继续遍历顶点 F 的邻接点，没有邻接点则开始回退（图中 6、7 所指）到顶点 A ，继续遍历顶点 A 的编号较小的没有被访问的邻接点 C ，然后遍历 C 的邻接点（顶点 B ），经判断顶点 B 已经被访问过，所以开始回退（图中 9 所指）到顶点 A ；
  4、继续遍历顶点 A 的编号较小的没有被访问的邻接点顶点 D （图中 10 所指），然后遍历顶点 D 的邻接点（顶点 E ），经判断顶点 E 已经被访问，然后继续回退到顶点 A（图中 11 所指）；
  5、至此则所有顶点遍历完成。

  所以遍历的顺序为： A -> B -> E -> F -> C -> D

2.3、总结说明

  综合上述的过程说明，可以总结出来 深度优先遍历 的算法描述（类似于二叉树的先序遍历）：

  1、访问起始顶点 vvv；
  2、当 vvv 存在邻接点并且此邻接点未被访问过时，继续深度遍历其未被访问过的邻接顶点 www；
  3、当 vvv 的所有邻接顶点都被访问过：
    1）如果图中所有顶点均已被访问，则算法结束；
    2）如果图中还有未被访问的顶点（非连通图）、以未访问顶点作为起始顶点继续深度遍历。

2.4、实现源代码

  实现代码中已经有了比较详细的注释，所以便不再进行说明，代码如下所示。

/*** 功 能：*      深度优先遍历图的辅助函数 -- 递归实现* 参 数：*      graph：要遍历的图*      v    ： 起始遍历的节点（在节点组中的编号/下标）*      visited ：是否被访问的标识* 返回值：*      无 **/
static void recursive_dfs(TMGraph *graph, int v, int visited[])
{int i = 0;if (graph == NULL || v < 0 || visited == NULL)goto END;// 打印输出节点信息，也可以其它操作printf("%s ", (char *)(graph->vertex[v]));// 设置访问的标志visited[v] = TRUE;for (i = 0; i < graph->count; i++){// 判断与v相邻的节点i之间是否存在边（等于0不存在，存在的变的话既可以是1，// 也可使权值(1也有可能为权值)），并且是否已经被访问if ((graph->matrix[v][i] != 0) && visited[i] == FALSE){// 继续递归遍历recursive_dfs(graph, i, visited);}}
END:return;
}/*** 功 能：*      深度优先遍历图的函数* 参 数：*      graph：要遍历的图*      v    ： 起始遍历的节点（在节点组中的编号/下标） * 返回值：*      无 **/
int MGraph_DFS(MGraph *graph, int v)
{TMGraph *tGraph = (TMGraph *)graph;int *visited = NULL;int ret = -1;if (tGraph == NULL || v < 0 || v > tGraph->count)goto ERROR;// 为访问的标志申请空间并初始化visited = (int *)calloc(tGraph->count, sizeof(int));if (visited == NULL)goto ERROR;recursive_dfs(tGraph, v, visited); // 开始递归遍历// 再次遍历所有节点，如果在上次访问中有没有被访问的节点（没有边连接），非连通图，那么以此节点开始继续访问for (int i = 0; i < tGraph->count; i++){if (visited[i] == FALSE) // 判断是否被访问{recursive_dfs(tGraph, i, visited); // 对未访问的邻接顶点递归调用}}printf("\n");ret = 0;
ERROR:if (visited)free(visited);return ret;
}

三、广度优先遍历（BFS）

3.1、广度优先的遍历过程

  图中的形式有向图和无向图的顺序正好重复且一模一样，所以就在一起描述。以下图为例。

图3.1 无向图遍历的过程示意图   

  1、假设访问起始遍历的顶点为顶点 A，将顶点 A 入队列（图中 1 所指），此时队列中为节点 A；（图中 1 所指），同时标记为已访问（下同，不再赘述）；
  2、然后将顶点A出队列，顶点 A 的遍历完成，然后开始访问顶点 A 的邻接点（分别为顶点 B 、顶点 C 、顶点 D 。（遍历规则设定为 按照顶点的编号小的优先，即先小后大，其实邻接矩阵的遍历顺序也是按照编号进行从小到大的依次遍历））；
  3、然后将顶点 A 的所有的没有被访问的邻接点入队列（入队列顺序从编号小到大依次为顶点 B、顶点 C、顶点 D，图中 2、3、4 所指），此时队列中为顶点 B、C、D；
  4、然后将顶点 B 出队列（图中 5 所指），顶点 B 的遍历完成，然后将顶点 B 的所有的没有被访问的邻接点入队列（入队列的顺序为 E、F ，图中 6、7 所指），此时队列中的节顶点为 C、D、E、F ；
  5、然后将顶点 C 出队列（图中 8 所指），顶点 C 的遍历完成，然后将顶点 C 的所有的没有被访问的邻接点入队列（其邻接点为顶点 B 和顶点 A （图中有向图没有顶点 A ），但是顶点 B 经判断已经遍历），则不再入队列，此时队列中的顶点为 D、E、F ；
  6、然后将顶点 D 出队列（图中 9 所指），顶点 D 的遍历完成，此时顶点 D 的邻接点为顶点 E 和顶点 A （图中有向图没有顶点 A ），且经判断顶点 E 已经被访问所以不再入队列，此时队列中的顶点为 E、F；
  7、继续出队列为顶点 E （图中 10 所指），有向图中顶点 E 没有邻接点，无向图中邻接点为 B 和 D ，经判断均已经被访问，所以也不再入队列；此时队列中顶点为 F ；
  8、出队列顶点 F （图中 11 所指），经判断顶点 F 的所有邻接点均已经被访问，没有可入队列的顶点，此时队列为空，遍历完成。

  所以，遍历的顺序为： A -> B -> C -> D -> E -> F

3.2、总结说明

  综合上述的过程说明，可以总结出来 广度优先遍历 的算法描述（二叉树的层序遍历）：

  1、访问起始顶点 v0v_0v0​；
  2、依次访问 v0v_0v0​ 的各个邻接点 v0v_0v0​1_11​， v0v_0v0​2_22​ ，…， v0v_0v0​x_xx​；
  3、假设最近一次访问的顶点依次为 viv_ivi​1_11​， viv_ivi​2_22​， …， viv_ivi​y_yy​，则依次访问viv_ivi​1_11​， viv_ivi​2_22​， …， viv_ivi​y_yy​ 的未被访问的邻接点；
  4、重复3，直到所有顶点均被访问。

3.3、实现源代码

  实现代码中已经有了比较详细的注释，所以便不再进行说明，代码如下所示。

/*** 功 能：*      广度优先遍历图的辅助函数 -- 队列实现* 参 数：*      graph：要遍历的图*      v    ： 起始遍历的节点（在节点组中的编号/下标）*      visited ：是否被访问的标识* 返回值：*      无 **/
static void bfs(TMGraph *graph, int v, int visited[])
{LinkQueue *queue = NULL;if (graph == NULL || v < 0 || visited == NULL)goto ERROR;// 创建一个队列queue = fLinkQueue.create();if (queue == NULL)goto ERROR;// 入队列fLinkQueue.enqueue(queue, graph->vertex + v);visited[v] = 1;while (fLinkQueue.length(queue) > 0){v = (MVertex **)fLinkQueue.dequeue(queue) - graph->vertex;printf("%s ", (char *)(graph->vertex[v]));for (int i = 0; i < graph->count; i++) // 对每一个顶点做循环{// 判断与v相邻的节点i之间是否存在边，并且是否已经被访问if ((graph->matrix[v][i] != 0) && visited[i] == FALSE){// 入队列fLinkQueue.enqueue(queue, graph->vertex + i);visited[i] = TRUE; // 将找到的此顶点标记为已访问}}}ERROR:if (queue)fLinkQueue.destroy(queue); // 销毁队列return;
}/*** 功 能：*      广度优先遍历图的函数* 参 数：*      graph：要遍历的图*      v    ： 起始遍历的节点（在节点组中的编号/下标） * 返回值：*      无 **/
int MGraph_BFS(MGraph *graph, int v)
{TMGraph *tGraph = (TMGraph *)graph;int *visited = NULL;int ret = -1;if (tGraph == NULL || v < 0 || v > tGraph->count)goto ERROR;// 为访问的标志申请空间并初始化visited = (int *)calloc(tGraph->count, sizeof(int));if (visited == NULL)goto ERROR;bfs(tGraph, v, visited);// 再次遍历所有节点，如果在上次访问中有没有被访问的节点（没有边连接），非连通图，那么以此节点开始继续访问for (int i = 0; i < tGraph->count; i++){// 判断顶点是否曾经访问过，没有访问过则继续访问if (visited[i] == FALSE){bfs(tGraph, i, visited); // 递归遍历}}printf("\n");ret = 0;
ERROR:if (visited)free(visited);return ret;
}

四、源码测试效果

4.1、测试案例源码

  根据上述深度优先遍历以及广度优先遍历的过程说明等，编写出相关的测试案例的实现代码，源码如下所示。

#include "../src/graph/graph.h"
#include <stdio.h>
#include <stdlib.h>int main(int argc, char *argv[])
{int ret = system("color "); // 颜色设置，用于在windows下终端显示的时候不明原因换行的问题// 顶点MVertex const *v[] = {"A", "B", "C", "D", "E", "F"};/** 下面开始无向图的测试 **/printf("\n\e[1;31mLet's start with an example of an undirected graph:\e[0m\n");// 创建一个图MGraph *ungraph = funMGraph.create((MVertex **)v, 6);// 添加边ret = funMGraph.edge.add(ungraph, 0, 1, 1, UNDIRECTED_GRAPH); // (A, B)ret = funMGraph.edge.add(ungraph, 0, 2, 1, UNDIRECTED_GRAPH); // (A, C)ret = funMGraph.edge.add(ungraph, 0, 3, 1, UNDIRECTED_GRAPH); // (A, D)ret = funMGraph.edge.add(ungraph, 1, 5, 1, UNDIRECTED_GRAPH); // (B, F)ret = funMGraph.edge.add(ungraph, 1, 4, 1, UNDIRECTED_GRAPH); // (B, E)ret = funMGraph.edge.add(ungraph, 2, 1, 1, UNDIRECTED_GRAPH); // (C, B)ret = funMGraph.edge.add(ungraph, 3, 4, 8, UNDIRECTED_GRAPH); // (D, E)// 显示funMGraph.display(ungraph);// 遍历printf("\nDFS Starting with vertex 'A': ");ret = funMGraph.traverse.dfs(ungraph, 0);printf("BFS Starting with vertex 'A': ");ret = funMGraph.traverse.bfs(ungraph, 0);printf("DFS Starting with vertex 'C': ");ret = funMGraph.traverse.dfs(ungraph, 2);printf("BFS Starting with vertex 'D': ");ret = funMGraph.traverse.bfs(ungraph, 3);printf("\n\e[1;31mLet's start with an example of directed graph \e[0m\n");// 创建一个图MGraph *graph = funMGraph.create((MVertex **)v, 6);// 添加边ret = funMGraph.edge.add(graph, 0, 1, 1, DIRECTED_GRAPH); // <A, B>ret = funMGraph.edge.add(graph, 0, 2, 1, DIRECTED_GRAPH); // <A, C>ret = funMGraph.edge.add(graph, 0, 3, 1, DIRECTED_GRAPH); // <A, D>ret = funMGraph.edge.add(graph, 1, 5, 1, DIRECTED_GRAPH); // <B, F>ret = funMGraph.edge.add(graph, 1, 4, 1, DIRECTED_GRAPH); // <B, E>ret = funMGraph.edge.add(graph, 2, 1, 1, DIRECTED_GRAPH); // <C, B>ret = funMGraph.edge.add(graph, 3, 4, 8, DIRECTED_GRAPH); // <D, E>// 显示funMGraph.display(graph);// 遍历printf("\nDFS Starting with vertex 'A': ");ret = funMGraph.traverse.dfs(graph, 0);printf("BFS Starting with vertex 'A': ");ret = funMGraph.traverse.bfs(graph, 0);printf("DFS Starting with vertex 'C': ");ret = funMGraph.traverse.dfs(ungraph, 2);printf("BFS Starting with vertex 'D': ");ret = funMGraph.traverse.bfs(ungraph, 3);// 销毁图funMGraph.destroy(graph);funMGraph.destroy(ungraph);printf("\n\e[1;32msystem exited with return code %d\e[0m\n\n", 0);return ret;
}

4.2、测试效果图

  根据上述测试代码，进行编译并测试效果以如下图所示。

图4.1 无向图遍历的过程示意图   

五、简单的总结

  遍历的实质：找到每个顶点的邻接点的过程。

  深度优先遍历 ：一条道路走到黑的故事，是一个递归的定义，也是一个俄罗斯套娃的过程。

    对于深度优先遍历，在遍历到有多个邻接点的位置的时候，不同的选择将会出现不同的遍历顺序。

    邻接矩阵：如果设定了存储结构为邻接矩阵，那么基于邻接矩阵的遍历的顺序是固定的

  广度优先遍历 ：wifi信号式的遍历。

    对于 广度优先遍历，甚至于所有的层序的遍历，都需要借助队列的辅助实现

  
  好啦，废话不多说，总结写作不易，如果你喜欢这篇文章或者对你有用，请动动你发财的小手手帮忙点个赞，当然 关注一波 那就更好了，有任何问题或者想法，欢迎 留言评论。就到这儿了，么么哒(* ￣3)(ε￣ *)。

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