PLU-分解以及求逆矩阵

PLU-分解

PLU-分解是对LU分解的一种改进，其增加了选主元的操作增加了计算的稳定性，及在第i次循环中将
j=where(max⁡(∣A[i:n,i]∣))j=where(\max(|A[i:n,i]|))j=where(max(∣A[i:n,i]∣)) 行和第i行进行交换来比避免对角元素出现0的情况，计算结果
PA=LUPA=LUPA=LU
P为置换矩阵，L为下三角矩阵，U为上三角矩阵。选主元操作在计算过程中以一个一维数组保存代替n×nn\times nn×n的矩阵，以下为此算法的Fortran代码，a为输入矩阵，l,u,p分别为下三角，上三角，置换矩阵，n为矩阵大小，当erro为0时计算失败，成功则为1

subroutine plu_decompose(a,l,u,p,n,erro)real,intent(inout)::a(n,n)real,intent(out)::l(n,n),u(n,n),p(n,n)integer,intent(in)::ninteger::pi(n)integer,intent(out)::errointeger::i,j,k,maxp,temppreal::maxdo i=1,npi(i)=iend dodo i=1,n-1max=a(i,i)maxp=ido j=i+1,nif (abs(a(j,i))>max) thenmax=abs(a(j,i))maxp=jend ifend doif (max+1.0==1.0) thenerro=0stopend ifif (maxp/=i) thentempp=pi(i)pi(i)=pi(maxp);pi(maxp)=temppa(i:maxp:maxp-i,:)=a(maxp:i:i-maxp,:)end ifdo j=i+1,na(j,i)=a(j,i)/a(i,i)end dodo j=i+1,ndo k=i+1,na(j,k)=a(j,k)-a(j,i)*a(i,k)end doend doend dodo i=1,np(i,i)=0l(i,i)=1u(i,i)=a(i,i)do j=1,i-1p(i,j)=0p(j,i)=0l(i,j)=a(i,j)l(j,i)=0u(j,i)=a(j,i)u(i,j)=0end doend dodo i=1,np(i,pi(i))=1end do
end subroutine

再通过解线性方程组可以得到矩阵 AAA 的逆，代码如下，其中第一次得到的矩阵为一个下三角阵，这样可以节省一半的计算量

subroutine reverse(a,b,n,erro)implicit nonereal,intent(inout)::a(n,n)real,intent(out)::b(n,n)real::l(n,n),u(n,n),p(n,n),c(n,n),tempinteger::n,errointeger::i,j,kcall plu_decompose(a,l,u,p,n,erro)if (erro==0) thenreturnend ifdo i=1,ndo j=1,i-1c(j,i)=0.0end dodo j=i,ntemp=0do k=1,j-1temp=temp+l(j,k)*c(k,i)end doif (i==j)thenc(j,i)=(1.0-temp)/l(j,j)elsec(j,i)=(0.0-temp)/l(j,j)end ifend doend dodo i=1,ndo j=n,1,-1temp=0do k=n,j+1,-1temp=temp+b(k,i)*u(j,k)end dob(j,i)=(c(j,i)-temp)/u(j,j)end doend dob=matmul(b,p)
end subroutine

测试代码如下

program mainimplicit nonereal::a(4,4),a_(4,4)real::l(4,4)real::w(4,4)integer :: i,jinteger:: udata((A(i,j),i=1,4),j=1,4)/ 2,0,2,0.6,3,3,4,-2,5,5,4,2,-1,-2,3.4,-1 /data((a_(i,j),i=1,4),j=1,4)/ 2,0,2,0.6,3,3,4,-2,5,5,4,2,-1,-2,3.4,-1 /a=transpose(a)a_=transpose(a_)do i=1,4print *,a(i,:)end docall reverse(a,l,4,u)w=matmul(a_,l)print *,''do i=1,4print *,w(i,:)end dopause
end program main

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