{`数学 {映射,函数,复合函数,结合函数,反函数}`, `@LOC_2`}

映射

定义

X , Y X,Y X,Y为两个非空集合, 若存在一个法则 f f f, 使得对于 ∀ x ∈ X \forall x \in X ∀x∈X, 按照法则 f f f, 都有唯一的 y ∈ Y y \in Y y∈Y与之对应; 则 f f f称为从 X X X到 Y Y Y的映射;
. 符号: f : X → Y f: X \to Y f:X→Y;
. {像,原像}: 比如 x 0 x_0 x0映射到了 y 0 y_0 y0, 则 y 0 y_0 y0为 x 0 x_0 x0的像, x 0 x_0 x0为 y 0 y_0 y0的原像, 即: y 0 = f ( x 0 ) y_0 = f(x_0) y0=f(x0);
. 定义域: X X X为映射 f f f的定义域 (记作 D f D_f Df, Define: 定义域);
. 陪域: Y Y Y为映射 f f f的陪域;
. 值域: 令 S = f ( A ) S = f(A) S=f(A) (等价于 S = { f ( x ) ∣ x ∈ X } S = \{ f(x) | x \in X\} S={f(x)∣x∈X}, 即所有像的集合), 则 S S S为映射 f f f的值域 (记作 { R f / f ( X ) } \{R_f/ f(X)\} {Rf/f(X)} Range: 值域);

性质

对于 ∀ x ∈ X \forall x \in X ∀x∈X, 都有唯一一个 y ∈ Y y \in Y y∈Y 与之对应;
但对于 ∀ y ∈ Y \forall y \in Y ∀y∈Y, 有0/1/无数个 x ∈ X x \in X x∈X与之对应;

@DELIMITER

值域一定是陪域的子集;

@DELIMITER

函数

定义

设数集 D ⊂ R D \subset \bold{R} D⊂R, 则映射 f : D → R f: D\to \bold{R} f:D→R, 称为定义在 D D D上的函数, 记作 y = f ( x ) , x ∈ D y = f(x), \quad x \in D y=f(x),x∈D;
. {自变量,因变量}: x x x为自变量, y y y为因变量;

换句话说, 函数是一种特殊的映射 , 即 {定义域为实数集的子集, 陪域为实数集}的映射称为函数;

函数要写成: y = f ( x ) , x ∈ D y = f(x), \quad x \in D y=f(x),x∈D, 注意f是指映射 (即映射中的对应法则), f(x)是指函数值是个实数;

错误汇总

只有 y = f ( x ) y = f(x) y=f(x)这种形式, 才是正确的表示函数的方式;
. {函数 f ( x ) f(x) f(x), 函数 2 x + 3 2x+3 2x+3}, 这都是错误的;
. {函数 u = g ( x ) u = g(x) u=g(x), 函数 y = 2 x + 3 y = 2x+3 y=2x+3}, 是正确的;

@DELIMITER

反函数

定义

( f : D → f ( D ) 为单射函数 ) ⟹ f 存在反函数 f − 1 : f ( D ) → D (f: D \to f(D) 为单射函数) \implies f存在反函数 f^{-1}: f(D) \to D (f:D→f(D)为单射函数)⟹f存在反函数f−1:f(D)→D;
. 因为函数就是特殊的映射, 所以反函数就是逆映射;

性质

f 在区间 I 上严格单调 ⟹ f 在区间 I 存在反函数 f在区间I上严格单调 \implies f在区间I存在反函数 f在区间I上严格单调⟹f在区间I存在反函数
. 因为严格单调 ⟹ 单射严格单调 \implies 单射严格单调⟹单射; 但如果不严格单调, 你不能说他就不存在反函数不是单射;
. . 比如: X: [0,1], f(X) = 1-x X: (1,2], f(x) = x-1, f在 [ 1 , 2 ] [1,2] [1,2]区间不是单调的但是单射的, 所以存在反函数;
. . 这种情况 (即单射, 但不严格单调), 一定是存在间断点的; 即 ( 单射且没有间断点 ) ⟹ ( 严格单调 ) (单射且没有间断点) \implies (严格单调) (单射且没有间断点)⟹(严格单调); MARK: @LOC_1;

@DELIMITER

原函数与反函数, 关于 y = x y=x y=x对称;

首先看函数对称的本质, 假如 f , g f,g f,g两个函数关于某直线 L L L对称 ⟺ \iff ⟺ ∀ ( x 0 , y 0 ) ∈ f \forall (x_0,y_0) \in f ∀(x0,y0)∈f, 该点关于 L L L的对称点 ( x 1 , y 1 ) ∈ g (x_1, y_1) \in g (x1,y1)∈g;
因此, 而这里因为 L : y = x L: y=x L:y=x, 所以, ( x 1 , y 1 ) = ( y 0 , x 0 ) (x_1, y_1) = (y_0, x_0) (x1,y1)=(y0,x0), 根据反函数定义, 该点一定在 g g g内;

@DELIMITER

复合函数

定义

由函数 u = g ( x ) , y = f ( u ) u = g(x), y = f(u) u=g(x),y=f(u)构成的复合函数, 记作 y = f [ g ( x ) ] , x ∈ D g y = f[ g(x)], \quad x \in D_g y=f[g(x)],x∈Dg;
. 因为函数就是特殊的映射, 所以复合函数就是复合映射;
. 注意次序, 复合函数 f ∘ g f \circ g f∘g是: 先 g g g 再 f f f, 因为对于一个变量 x x x, 他是先进入 g g g, 得到结果后再进入 f f f;

错误

函数的四则运算, 不叫做函数复合;
. 比如 z ( x ) = f ( x ) + g ( x ) z(x) = f(x) + g(x) z(x)=f(x)+g(x), 那么 z ( x ) z(x) z(x) 不能称为 f , g f, g f,g的复合函数;
. 区分函数的复合与函数的结合 (@MARK_0);

样例

f [ g ( x ) ] f[ g(x)] f[g(x)]他的函数式, 比如 f ( x ) = 2 x 2 + 3 x + 4 f(x) = 2x^2 + 3x +4 f(x)=2x2+3x+4, 就是将他里面的 x x x 替换成 g ( x ) g(x) g(x), 现在变成了: f ( x ) = 2 f 2 ( x ) + 3 f ( x ) + 4 f(x) = 2f^2(x) + 3f(x) + 4 f(x)=2f2(x)+3f(x)+4;

@DELI;

性质

@DELI;

从几何角度分析 f [ g ( x ) ] f[ g(x)] f[g(x)];

令 f ( x ) = x f(x) = x f(x)=x, 定义域为R, 导函数为 1 1 1;

如果 g ( x ) = x g(x) = x g(x)=x, 自然 f [ g ( x ) ] = f ( x ) f[g(x)] = f(x) f[g(x)]=f(x);

如果 g ( x ) = 2 x g(x) = 2x g(x)=2x, 从几何角度看, 此时的坐标系里放着 f ( x ) = x f(x)=x f(x)=x这个图形 (也就是二维空间里有很多点), 保持这些点以及y坐标轴固定不动, 单独的将x坐标轴 放大1倍 (也就是, 将原来x坐标轴的刻度统一进行*= 2操作);
比如对于图形中的任一点(x0,y0), 现在由于x坐标轴改变了 (但图形的点是不动的), 现在这个点的坐标是(x0/2, y0);

如果 g ( x ) = s i n ( x ) g(x) = sin(x) g(x)=sin(x), 这比较特殊, 将x坐标轴压缩成长度为2的[-1, 1]区间 (这里的长度2 区间[-1,1], 都是相对于原来x坐标轴而言的), 也就是对于图像中(x, y) (满足x<-1 或 x > 1)的这些点该复合函数一定是获取不到的 (因为此时x坐标轴才对应到[-1,1]);
. 一定要理解, 什么叫做: 将x坐标轴压缩成 [-1, 1]区间; 这个x坐标轴里面的刻度可不是[-1,1]区间 (他可以是 R R R, 可以是任意, 取决于g(x)定义域), 所谓[-1,1] 是相对于原来这个标准x坐标轴而言的;
最重要的是, 虽然新的这个x坐标轴取值是 R R R, 但他不是标准的坐标轴; 这个坐标轴不一定是单调的, 即3可能在4的右侧(或重合) 而不是左侧;
. 比如, x = { 0 , ± π , ± 2 π , . . . } x = \{0, \pm \pi, \pm 2 \pi, ...\} x={0,±π,±2π,...} 他们的sin(x)值都是相同的, 就意味着这些x刻度在这个x坐标轴里是在同个位置上的(该位置对应原来x坐标轴的x=0刻度);
而且, 新x坐标轴不一定是能占满整个[-1,1]区间, 虽然g(x) = sin(x)是可以占满的, 但比如令g(x) = {-1, x<0; 1, x >= 0}, 此时新x坐标轴也是[-1, 1]范围(即长度为2) 但他只占据了{-1, 1}这两个刻度 (即所有x<0都在-1刻度, 所有x>=0都在1刻度);

结合函数 (自定义)

定义

z ( x ) = f ( x ) ? g ( x ) z(x) = f(x) ? g(x) z(x)=f(x)?g(x) (其中? = 四则运算), 则 z z z称为 f , g f,g f,g的结合函数;
. @IF( {加/减/乘}): D z = D f ∩ D g D_z = D_f \cap D_g Dz=Df∩Dg;
. @ELSE( 除法): D z = ( D f ∩ D g ) − D g 0 D_z = (D_f \cap D_g) - D_{g0} Dz=(Df∩Dg)−Dg0; (其中 g ( x ) = 0 , ∀ x ∈ D g 0 g(x) = 0, \forall x \in D_{g0} g(x)=0,∀x∈Dg0; (总之, 要保证 z ( x ) z(x) z(x)的有效性);

{基本初等函数, 初等函数}

定义

以下五类函数, 均为基本初等函数:
. 幂函数: y = x c , c ∈ R y = x^c, \quad c \in \bold R y=xc,c∈R;
. 指数函数: y = a x , a > 0 ∧ a ≠ 1 y = a^x, \quad a>0 \land a\neq 1 y=ax,a>0∧a=1;
. 对数函数: y = l o g a x , a > 0 ∧ a ≠ 1 y = log_a{x}, \quad a>0 \land a\neq 1 y=logax,a>0∧a=1;
. 三角函数;
. 反三角函数;

@DELIMITER

由{常数, 基本初等函数}经过有限次的 {四则运算, 函数复合} 操作后, 得到的函数, 称为 初等函数;

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数学 {映射,函数,复合函数,结合函数,反函数}

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映射

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单射,满射,双射

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复合映射

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定义

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反函数

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性质

结合函数 (自定义)

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{基本初等函数, 初等函数}

定义

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