乘法逆元 java_乘法逆元

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一，引入

(a+b)%p = (a%p + b%p) %p

(a - b) %p = ( a%p + b%p) %p

(a * b) %p = ( a%p * b%p) %p

(a / b) %p = ( a%p / b%p) %p

上式中，第四个是不成立的，即除法不存在逆元。这就让计算 (a / b) %p 变的十分复杂，

因为：

① 分配律的好处：可以在大数运算时候先取余让数变小，在进行加减乘运算

② 除法的弊端：除法会掉精度

于是就有人想出乘法的逆元来解决这个问题。

二，乘法逆元

1，定义：若在 mod p 的情况下，对于一个整数 a，有 a*x ≡ 1 (mod p)，那么这个整数 x 即为 a 的乘法逆元，同时 a 也为 x 的乘法逆元 ( ≡ 表示同余；(mod p) 表示该式子在两边都 mod p 的情况下成立)

2，充要条件：a 存在 mod p 的乘法逆元的充要条件是 gcd ( a , p ) = 1，即 a 与 p 互质。

3，应用：求取 (a / b) %p。该值等同与 a*(b 的逆元) % p

4，证明：( a/b ) % p = a*(b 的逆元) % p

设 b 的逆元为 x，则 b*x ≡ 1 ( mod p )，可以把 x 认为是 b 在数论上的倒数

式子 ① ：(a / b) %p = m，即(a / b)≡ m (mod p)

将 ① * b * x 得： a * x %p = m * b * x %p，

因为：b*x ≡ 1 ( mod p )

所以有：a * x ≡ m ( mod p )

所以有：a * x ≡ m ≡ a / b ( mod p )

5，费马小定理

可以用来求 b 的逆元：

费马小定理：假如 a 是一个整数， p 是一个质数(在竞赛通常 p 为质数，因为 p 不为质数时容易找到余数的规律)，那么

1，如果 a 是 p 的倍数，a^p ≡ a (mod p)

2，如果 a 不是 p 的倍数，a^(p-1) ≡ 1 (mod p)

同余式：a ≡ b (mod n) 表示 a，b 都模 n 后的值相等

因为乘法逆元必须满足，a p 互质，所以只需要考虑第二种情况。

由 2 可得：a * a^(p-2) ≡ 1 ( mod p )

所以 a%p * (a^(p-2) % p) = 1 %p

即 a^(p-2) % p 为 a 的逆元，其中 p-2 次方可用快速幂求解。

6，总结：

( a/b ) % p = a*(a^(p-2) % p) % p

=========== ========== ========= ========= ======== ====== ==== === == =

水调歌头 (宋)辛弃疾

我饮不须劝，正怕酒尊空。别离亦复何恨，此别恨匆匆。

头上貂蝉贵客，花外麒麟高冢，人世竟谁雄。一笑出门去，千里落花风。

孙刘辈，能使我，不为公。余发种种如是，此事付渠侬。

但觉平生湖海，除了醉吟风月，此外百无功。毫发皆帝力，更乞鉴湖东。

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