每个数a均有唯一的与之对应的乘法逆元x，使得ax≡1(mod n) ， 一个数有逆元的充分必要条件是gcd(a,n)=1，此时逆元唯一存在 。

逆元的含义：模n意义下，1个数a如果有逆元x，那么除以a相当于乘以x。

逆元的定义：定义：正整数 a, n，如果有 ax ≡ 1(mod n)，则称 x 的最小正整数解为 a 模 n的逆元。

为什么要有乘法逆元呢？

当我们要求(a/b) mod p的值，且a很大，大到会溢出；或者说b很大，达到会爆精度。无法直接求得a/b的值时，我们就要用到乘法逆元。

求证：设k为b关于p的乘法逆元，证明(a/b)%m=(a*k)%m?

我们可以通过求b关于p的乘法逆元k，将a乘上k再模p，即(a*k) mod p。其结果与(a/b) mod p等价。

证：

根据b*k≡1 (mod p)有b*k=p*x+1。

k=(p*x+1)/b。

把k代入(a*k) mod p，得：

(a*(p*x+1)/b) mod p

=((a*p*x)/b+a/b) mod p

=[((a*p*x)/b) mod p +(a/b)] mod p

=[(p*(a*x)/b) mod p +(a/b)] mod p

//p*[(a*x)/b] mod p=0

所以原式等于：(a/b) mod p

更简单的证明：

a/b mod p =  a* (b*b^(-1) ) /b =a*b^(-1);

一、循环找解法

给定模m和需要求逆的数x，直接暴力枚举1~m-1

检查是否有x*i=1(mod m)

这种算法可以应用与写暴力、对拍、模数较小,求逆次数少的情况

时间复杂度O(m)

#include

#include

using namespace std;

int main()

{

int n,m;

cin>>n>>m;

for(int i=1;i

if(i*n%m==1) {

printf("%d\n",i);

break;

}

}

return 0;

}

二、扩展欧几里得算法

给定模数m，求a的逆元相当于求解ax=1(mod m)

这个方程可以转化为ax-my=1

然后套用求二元一次方程的方法，用扩展欧几里得算法求得一组x0,y0和gcd

检查gcd是否为1

gcd不为1则说明逆元不存在

若为1，则调整x0到0~m-1的范围中即可

( 用我自己的话解释一下，①：extgcd 目的 求 x ,y ； ②：逆元 目的 求 x；  ③： so 用extgcd 来求逆元 )

一个数有逆元的充分必要条件是gcd(a,n)=1，如果gcd(a,n)>1,则不存在逆元：比如：18 12

#include

#include

using namespace std;

int exgcd(int a,int b,int &x,int &y)

{

if(b==0) {

x=1,y=0;

return a;

}

int r = exgcd(b,a%b,x,y);

int t = x;

x = y;

y = t - a/b*y;

return r;

}

int inv(int n,int m)

{

int x,y;

int ans = exgcd(n,m,x,y);

if(ans == 1)

return (x%m+m)%m;

//定义：正整数 a, n，如果有 ax ≡ 1(mod n)，则称 x 的最小整数解为 a 模 n的逆元。

else

return -1;

}

int main()

{

int n,m;

cin>>n>>m;

int ans = inv(n,m);

ans == -1 ? cout<

return 0;

}

/*

intput:

5 7

22 29

100 97

18 12

output:

3

4

65

没有逆元

*/

三、费马小定理及欧拉定理

四、O(n)求1~n逆元表

(这个写的不是很详细，具体看那个链接)

ps:

a与b对模m同余，记为a≡b(mod m)

ax≡1(mod p) 读作：a关于模p的乘法逆元。