【不定积分公式推导】1/根号a平方+x平方的不定积分
结论：
∫1x2+a2dx=ln∣x+a2+x2∣+C\int \frac{1}{\sqrt{x^2+a^2}}dx=\ln|x+\sqrt{a^2+x^2}|+C∫x2+a21dx=ln∣x+a2+x2∣+C
推导过程：
令x=a∗tant,⇒tant=xa；dx=a∗(tant)′dt=acos2tdt令x=a*\tan t,\Rightarrow\tan t=\frac{x}{a}；dx=a*(\tan t)'dt=\frac{a}{\cos ^2t}dt令x=a∗tant,⇒tant=ax；dx=a∗(tant)′dt=cos2tadt
tan2t=x2a2=1−cos2tcos2t=1cos2t−1⇒cost=ax2+a2\tan^2 t=\frac{x^2}{a^2}=\frac{1-\cos^2t}{cos^2t}=\frac{1}{cos^2t}-1 \Rightarrow\cos t=\frac{a}{\sqrt{x^2+a^2}}tan2t=a2x2=cos2t1−cos2t=cos2t1−1⇒cost=x2+a2a
∫1x2+a2dx=∫1a2∗tan2t+a2∗acos2tdt\int \frac{1}{\sqrt{x^2+a^2}}dx=\int\frac{1}{\sqrt{a^2*\tan^2t+a^2}}*\frac{a}{\cos ^2t}dt∫x2+a21dx=∫a2∗tan2t+a21∗cos2tadt
=∫aa∗1cost∗cos2tdt=\int\frac{a}{a*\frac{1}{\cos t}*\cos^2t}dt=∫a∗cost1∗cos2tadt
=∫dtcost=∫1cos2tdsint=\int\frac{dt}{\cos t}=\int\frac{1}{\cos^2t}d\sin t=∫costdt=∫cos2t1dsint
=12∫(11+sint+11−sint)dsint=\frac{1}{2}\int(\frac{1}{1+\sin t}+\frac{1}{1-\sin t})d \sin t=21∫(1+sint1+1−sint1)dsint
=12(ln∣1+sint∣−ln∣1−sint∣)+C=\frac{1}{2}(\ln|1+\sin t|-\ln|1-\sin t|)+C=21(ln∣1+sint∣−ln∣1−sint∣)+C
=12ln∣1+sint1−sint∣+C=12ln∣(1+sint)21−sin2t∣+C=\frac{1}{2}\ln|\frac{1+\sin t}{1-\sin t}|+C=\frac{1}{2}\ln|\frac{(1+\sin t)^2}{1-\sin^2t}|+C=21ln∣1−sint1+sint∣+C=21ln∣1−sin2t(1+sint)2∣+C
=12ln∣(1+sint)2cost2t∣+C=ln∣1+sintcost∣+C=\frac{1}{2}\ln|\frac{(1+\sin t)^2}{\cos t^2t}|+C=\ln|\frac{1+\sin t}{\cos t}|+C=21ln∣cost2t(1+sint)2∣+C=ln∣cost1+sint∣+C
=ln∣1cost+tant∣+C=\ln|\frac{1}{\cos t}+\tan t|+C=ln∣cost1+tant∣+C
=ln∣a2+x2a+xa∣+C=\ln|\frac{\sqrt{a^2+x^2}}{a}+\frac{x}{a}|+C=ln∣aa2+x2+ax∣+C
=ln∣a2+x2+x∣−lna+C=\ln|\sqrt{a^2+x^2}+x|-\ln a+C=ln∣a2+x2+x∣−lna+C
=ln∣a2+x2+x∣+C=\ln|\sqrt{a^2+x^2}+x|+C=ln∣a2+x2+x∣+C
注释：
真心记不住secx,cscx,cotx函数运算转换，但是只要记住他们分别是cosx,sinx,tanx的倒数就够了真心记不住\sec x,\csc x,\cot x函数运算转换，但是只要记住他们分别是\cos x,\sin x,\tan x的倒数就够了真心记不住secx,cscx,cotx函数运算转换，但是只要记住他们分别是cosx,sinx,tanx的倒数就够了
补充
评论说未考虑负号的情况，其实是一样的，过程如下：
推导过程：
令x=a∗tant,⇒tant=xa；dx=a∗(tant)′dt=acos2tdt令x=a*\tan t,\Rightarrow\tan t=\frac{x}{a}；dx=a*(\tan t)'dt=\frac{a}{\cos ^2t}dt令x=a∗tant,⇒tant=ax；dx=a∗(tant)′dt=cos2tadt
tan2t=x2a2=1−cos2tcos2t=1cos2t−1⇒cost=±ax2+a2\tan^2 t=\frac{x^2}{a^2}=\frac{1-\cos^2t}{cos^2t}=\frac{1}{cos^2t}-1 \Rightarrow\cos t=\pm\frac{a}{\sqrt{x^2+a^2}}tan2t=a2x2=cos2t1−cos2t=cos2t1−1⇒cost=±x2+a2a
∫1x2+a2dx=∫1x2+a2∗acos2tdt\int \frac{1}{\sqrt{x^2+a^2}}dx=\int\frac{1}{\sqrt{x^2+a^2}}*\frac{a}{\cos ^2t}dt∫x2+a21dx=∫x2+a21∗cos2tadt
=∫1x2+a2∗x2+a2adt=∫x2+a2adt=\int\frac{1}{\sqrt{x^2+a^2}}*\frac{x^2+a^2}{a}dt=\int\frac{\sqrt{x^2+a^2}}{a}dt=∫x2+a21∗ax2+a2dt=∫ax2+a2dt
从这里开始讨论：
如果,cost=ax2+a2\cos t=\frac{a}{\sqrt{x^2+a^2}}cost=x2+a2a，那么和之前解法一样：
原式=∫dtcost=∫1cos2tdsint原式=\int\frac{dt}{\cos t}=\int\frac{1}{\cos^2t}d\sin t原式=∫costdt=∫cos2t1dsint
=12∫(11+sint+11−sint)dsint=\frac{1}{2}\int(\frac{1}{1+\sin t}+\frac{1}{1-\sin t})d \sin t=21∫(1+sint1+1−sint1)dsint
=12(ln∣1+sint∣−ln∣1−sint∣)+C=\frac{1}{2}(\ln|1+\sin t|-\ln|1-\sin t|)+C=21(ln∣1+sint∣−ln∣1−sint∣)+C
=12ln∣1+sint1−sint∣+C=12ln∣(1+sint)21−sin2t∣+C=\frac{1}{2}\ln|\frac{1+\sin t}{1-\sin t}|+C=\frac{1}{2}\ln|\frac{(1+\sin t)^2}{1-\sin^2t}|+C=21ln∣1−sint1+sint∣+C=21ln∣1−sin2t(1+sint)2∣+C
=12ln∣(1+sint)2cost2t∣+C=ln∣1+sintcost∣+C=\frac{1}{2}\ln|\frac{(1+\sin t)^2}{\cos t^2t}|+C=\ln|\frac{1+\sin t}{\cos t}|+C=21ln∣cost2t(1+sint)2∣+C=ln∣cost1+sint∣+C
=ln∣1cost+tant∣+C=\ln|\frac{1}{\cos t}+\tan t|+C=ln∣cost1+tant∣+C
=ln∣a2+x2a+xa∣+C=\ln|\frac{\sqrt{a^2+x^2}}{a}+\frac{x}{a}|+C=ln∣aa2+x2+ax∣+C
=ln∣a2+x2+x∣−ln∣a∣+C=\ln|\sqrt{a^2+x^2}+x|-\ln |a|+C=ln∣a2+x2+x∣−ln∣a∣+C
=ln∣a2+x2+x∣+C=\ln|\sqrt{a^2+x^2}+x|+C=ln∣a2+x2+x∣+C
如果 cost=−ax2+a2\cos t=-\frac{a}{\sqrt{x^2+a^2}}cost=−x2+a2a：
原式=∫−dtcost=∫−1cos2tdsint原式=\int-\frac{dt}{\cos t}=\int-\frac{1}{\cos^2t}d\sin t原式=∫−costdt=∫−cos2t1dsint
=−12∫(11+sint+11−sint)dsint=-\frac{1}{2}\int(\frac{1}{1+\sin t}+\frac{1}{1-\sin t})d \sin t=−21∫(1+sint1+1−sint1)dsint
=−12(ln∣1+sint∣−ln∣1−sint∣)+C=-\frac{1}{2}(\ln|1+\sin t|-\ln|1-\sin t|)+C=−21(ln∣1+sint∣−ln∣1−sint∣)+C
=−12ln∣1+sint1−sint∣+C=−12ln∣(1+sint)21−sin2t∣+C=-\frac{1}{2}\ln|\frac{1+\sin t}{1-\sin t}|+C=-\frac{1}{2}\ln|\frac{(1+\sin t)^2}{1-\sin^2t}|+C=−21ln∣1−sint1+sint∣+C=−21ln∣1−sin2t(1+sint)2∣+C
=−12ln∣(1+sint)2cost2t∣+C=−ln∣1+sintcost∣+C=-\frac{1}{2}\ln|\frac{(1+\sin t)^2}{\cos t^2t}|+C=-\ln|\frac{1+\sin t}{\cos t}|+C=−21ln∣cost2t(1+sint)2∣+C=−ln∣cost1+sint∣+C
=−ln∣1cost+tant∣+C=-\ln|\frac{1}{\cos t}+\tan t|+C=−ln∣cost1+tant∣+C
=−ln∣−a2+x2a+xa∣+C=-\ln|\frac{-\sqrt{a^2+x^2}}{a}+\frac{x}{a}|+C=−ln∣a−a2+x2+ax∣+C
=−ln∣x−a2+x2a∣+C=-\ln|\frac{x-\sqrt{a^2+x^2}}{a}|+C=−ln∣ax−a2+x2∣+C
=−ln∣a2+x2−x∣−ln∣a∣+C=-\ln|\sqrt{a^2+x^2}-x|-\ln |a|+C=−ln∣a2+x2−x∣−ln∣a∣+C
=ln∣(a2+x2−x)−1∣−ln∣a∣+C=\ln|(\sqrt{a^2+x^2}-x)^{-1}|-\ln |a|+C=ln∣(a2+x2−x)−1∣−ln∣a∣+C
=ln∣(a2+x2+x)a2+x2−x)∗a2+x2+x)∣−ln∣a∣+C=\ln|(\frac{\sqrt{a^2+x^2}+x)}{\sqrt{a^2+x^2}-x)*\sqrt{a^2+x^2}+x)}|-\ln |a|+C=ln∣(a2+x2−x)∗a2+x2+x)a2+x2+x)∣−ln∣a∣+C
=ln∣(a2+x2+x)∣−3ln∣a∣+C=\ln|(\sqrt{a^2+x^2}+x)|-3\ln |a|+C=ln∣(a2+x2+x)∣−3ln∣a∣+C
=ln∣(a2+x2+x)∣+C=\ln|(\sqrt{a^2+x^2}+x)|+C=ln∣(a2+x2+x)∣+C
一点思考
一个数开方后有两个解，正数一个解，负数一个解。
对本题而言，得到的不定积分，能得到两种表达形式：
取正数时，可以证明它等于表达式一；
取负数时，可以证明它等于表达式二；
我认为，直接取正数证明到原式等于表达式一即可。
当然这只是我的主观认知，实际对不对还有待商榷。
数学应该还是追求严谨的，实际上，通过后面的计算，两种表达式最终也是一样的。
另一种思考:
tant=xa\tan t=\frac{x}{a}tant=ax,可以令t在（-pi/2,pi/2），tant在（-pi/2,pi/2）时，值域为全体实数，所以cost>0，上面证明也就不用讨论当cost<0的情况。
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