数学建模--转移矩阵

首先来简单介绍一下矩阵的乘法，两个矩阵能进行矩阵乘法运算的前提是：第一个矩阵（左矩阵）的列数等于第二个矩阵（右矩阵）的行数。A = （aij）是一个m*s矩阵，B = （bij）是一个s*n矩阵，则矩阵A与矩阵B的乘积是一个m*n矩阵C = （cij），其中：cij = ai1*b1j + ai2*b2j + ··· +ais*bsj(i = 1,2,···，m；j = 1,2,···,n)，记作 C = AB。
用文字来描述就是矩阵A的第i行分别乘以矩阵B的第j列对应位置再求和得到的结果作为矩阵C第i行第j列的数字。
由于没有真正学习过转移矩阵，所以百度了一部分内容粘贴上来
*什么是转移概率矩阵(Transition Probability Matrix)
　　转移概率矩阵：矩阵各元素都是非负的，并且各行元素之和等于1，各元素用概率表示，在一定条件下是互相转移的，故称为转移概率矩阵。如用于市场决策时，矩阵中的元素是市场或顾客的保留、获得或失去的概率。P(k)表示k步转移概率矩阵。
转移概率矩阵的特征
　　转移概率矩阵有以下特征：
　　①,0≤Pij≤1
　　②\sum^{n}_{j-1}P_i j=1，即矩阵中每一行转移概率之和等于1。
转移概率矩阵的分析
　　所谓矩阵，是指许多个数组成的一个数表。每个数称为矩阵的元素。矩阵的表示方法是用括号将矩阵中的元素括起来，以表示它是一个整体。如Ａ就是一个矩阵。
　　A=

⎡⎣⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢a11,a12⋯∙∙∙∙∙∙a21,a22⋯am1,am2⋯a1n∙∙∙a2namn⎤⎦⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

\begin{bmatrix} a_{11},a_{12}\cdots & a_{1n} \\ \bullet \bullet & \bullet \\ \bullet \bullet & \bullet\\ \bullet \bullet & \bullet\\ a_{21},a_{22}\cdots & a_{2n}\\ a_{m1},a_{m2}\cdots & a_{mn}\end{bmatrix}
　　这是一个由m行n列的数构成的矩阵，表示位于矩阵中第i行与第j列交叉点上的元素，矩阵中的行数与列数可以相等，也可以不等。当它们相等时，矩阵就是一个方阵。
　　由转移概率组成的矩阵就是转移概率矩阵。也就是说构成转移概率矩阵的元素是一个个的转移概率R=

⎡⎣⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢P11,P12⋯∙∙∙∙∙∙P21,P22⋯Pm1,Pm2⋯P1n∙∙∙P2nPmn⎤⎦⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

\begin{bmatrix} P_{11},P_{12}\cdots & P_{1n} \\ \bullet \bullet & \bullet \\ \bullet \bullet & \bullet\\ \bullet \bullet & \bullet\\ P_{21},P_{22}\cdots & P_{2n}\\ P_{m1},P_{m2}\cdots & P_{mn}\end{bmatrix}*
下面通过一个例子来解释转移矩阵的应用
有R和S两家公司经营同类产品，这两家公司相互竞争。每年R公司保持有1/4的顾客，而3/4转移向S公司；每年S公司保持有2/3的顾客，而1/3转向R公司。当产品开始制造时R公司占有3/5的市场份额，而S公司占有2/5的市场份额。
试问两年以后，两家公司所占有的市场份额变化怎样？5年以后会怎样？
第一问比较简单，通过高中的知识就可以接出来，

R0 = 3/5,S0 = 2/5,
R1 = R0*1/4+S0*1/3,
S1 = S0*2/3+R0*3/4,
同理
R2 = R1*1/4+S1*1/3,
S2 = S1*2/3+R1*3/4,

这样稍加运算就可以算出结果，但是当计算5年以后时就会比较吃力了，下面通过转移矩阵的知识进行求解。
先建立一个R和S公司的初始分配矩阵

RS0 = [3/5 2/5]

再建立一个转移矩阵

A = [1/4 1/3; 3/4 2/3]

一年以后的分配为

RS1 = A*RS0

两年以后的分配为

RS2 = A^2*RS0

5年以后的分配为

RS5 = A^5*RS0

转移矩阵的第一行第一列为第一家公司保持的份额，第二行第一列是第一家公司向第二家公司转移的份额，第一行第二列是第二家公司向第一家公司转移的份额，第二行第二列是第二家公司保持的份额。

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