数学建模|预测方法：马尔科夫预测

马尔可夫链的定义

现实世界中有很多这样的现象：某一个系统在已知现在的条件下，系统未来时刻的情况只与现在有关，而与过去的历史无关，比如，研究一个商店的累计销售额，如果现在时刻的累计销售额已知，则未来某一时刻的累计销售额与现在时刻以前的任一时刻累计销售额无关。描述这类随机现象的数学模型称为马尔可夫模型。

数学表达

设{ξn,n=1,2,⋅⋅⋅}\{\xi_n,n=1,2,···\}{ξn,n=1,2,⋅⋅⋅}是一个随机序列，状态空间EEE为有限或可列集，对于任意的正整数m,nm,nm,n，若i,j,ik∈E(k=1,⋅⋅⋅,n−1),i,j,i_k\in E(k=1,···,n-1),i,j,ik∈E(k=1,⋅⋅⋅,n−1),有

P{ξn+m=j∣ξn=i,ξn−1=in−1,⋅⋅⋅,ξ1=i1}=P{ξn+m=j∣ξn=i}P\{\xi_{n+m}=j|\xi_n=i,\xi_{n-1}=i_{n-1},···,\xi_1=i_1\}=P\{\xi_{n+m}=j|\xi_n=i\} P{ξn+m=j∣ξn=i,ξn−1=in−1,⋅⋅⋅,ξ1=i1}=P{ξn+m=j∣ξn=i}

则称{ξn,n=1,2,⋅⋅⋅}\{\xi_n,n=1,2,···\}{ξn,n=1,2,⋅⋅⋅}为一个马尔可夫链。

事实上，证明该等式对于m=1m=1m=1成立，则它对于任意的正整数mmm也成立，则只要当m=1m=1m=1时等式成立，则可以称{ξn,n=1,2,⋅⋅⋅}\{\xi_n,n=1,2,···\}{ξn,n=1,2,⋅⋅⋅}为马尔可夫链。
设{ξn,n=1,2,⋅⋅⋅}\{\xi_n,n=1,2,···\}{ξn,n=1,2,⋅⋅⋅}是一个马尔可夫链，则上述等式右边的条件概率与nnn无关，即
P{ξn+m=j∣ξn=i}=pij(m)P\{\xi_{n+m}=j|\xi_n=i\}=p_{ij}(m) P{ξn+m=j∣ξn=i}=pij(m)
则称{ξn,n=1,2,⋅⋅⋅}\{\xi_n,n=1,2,···\}{ξn,n=1,2,⋅⋅⋅}为时齐的马尔可夫链，称pij(m)p_{ij}(m)pij(m)为系统由状态iii经过mmm个时间间隔转移到状态jjj的转移概率。

转移概率与转移概率矩阵

对于一个马尔可夫链{ξn,n=1,2,⋅⋅⋅}\{\xi_n,n=1,2,···\}{ξn,n=1,2,⋅⋅⋅}，称以mmm步转移概率pij(m)p_{ij}(m)pij(m)为元素的矩阵P(m)=(pij(m))P(m)=(p_{ij}(m))P(m)=(pij(m))为马尔可夫链的mmm步转移矩阵。当m=1m=1m=1时，记P(1)=PP(1)=PP(1)=P称为马尔可夫链的一步转移矩阵

它有如下三条性质：

对一切i,j∈E,0≤pij(m)≤1i,j\in E,0\leq p_{ij}(m)\leq 1i,j∈E,0≤pij(m)≤1
对于一切i∈E,∑j∈Epij(m)=1i\in E,\sum_{j\in E}p_{ij}(m)=1i∈E,∑j∈Epij(m)=1
对一切i,j∈Ei,j\in Ei,j∈E

当实际问题可以用马尔可夫链来描述时，首先要确定它的状态空间及参数集合，然后确定它的一步转移概率，关于这一概率的确定，可以由问题的内在规律得到，也可以由过去经验给出，还可以根据观测数据来估计。

案例

数学建模常用模型23：马尔可夫预测方法
数学建模|马尔科夫链模型
一个马尔科夫链实例