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引言

本文是金融工程系列的第十篇

1. 弄清量化金融十大话题 (上)

2. 弄清量化金融十大话题 (下)

3. 金融工程高度概览

4. 日期生成

5. 变量计算

6. 模型校正

7. 曲线构建 I - 单曲线

8. 曲线构建 II - 多曲线 (基差)

9. 曲线构建 III - 多曲线方法 (抵押品)

10. 产品估值理论

11. 产品估值 - 解析法和数值积分法 (CF)

12. 产品估值 - 偏微分方程有限差分法 (PDE-FD)

13. 产品估值 - 蒙特卡洛模拟法 (MC)

14. 产品风险理论 (AAD)

15. 风险计量 - 敏感度 (Greeks & Sensitivities)

16. 风险计量 - 风险价值 (VaR)

17. 价值调整 - 凸性调整

18. 价值调整 - Quanto 调整

19. 价值调整 - 时间调整

20. 价值调整 - CVA

21. 价值调整 - DVA

22. 价值调整 - FVA

23. 价值调整 - MVA

24. 价值调整 - KVA

Quanto 是 quantity-adjusting 的缩写，字面上是变量调整的意思。由于 Quanto 没有好的中文翻译，我们就直接用 Quanto。带有 Quanto 衍生品的特点是标的物以货币 A 计价，但是产品本身是以货币 B 结算。

举个例子，一个中国投资者买了个标的物是苹果股票的欧式看涨期权，正常的期权费是以美元结算，但对于中国投资者期权费需要转成人民币，有两种方式：

1. 非 Quanto看涨期权：支付函数 Π₁ = (S(T) - K)+ × X^USDCNY(T)

2. Quanto 看涨期权：支付函数 Π₂ = (S(T) - K)+ × Q

其中 S(T) 是苹果股票在到期日 T 时的价格，K 是行权价格， X^USDCNY(T) 是美元人民币在到期日 T 时的即期汇率，而 Q 是 Quanto 因子，一般是美元人民币在 T 时点的远期汇率。Q 是常数，而 X^USDCNY(T) 是随机变量，它和标的价格 S(T) 有相关性。

• 当它们正相关时，Var(Π₁)>Var(Π₂)，非 Quanto 比 Quanto 看涨期权更值钱。

• 当它们负相关时，Var(Π₁)<Var(Π₂)，Quanto 比非 Quanto 看涨期权更值钱。

由此可知对于 Quanto 产品，标的物和汇率（标的物货币和结算货币之间的汇率）的相关性系数对其定价起了关键作用。

在金融产品中，我们可以

• 用日元支付美元 LIBOR（利率 Quanto）

• 用人民币支付苹果股票（股票 Quanto）

• 用新加坡元支付黄金（商品 Quanto）

• 用欧元支付标的为“美元/日元”的合约（外汇 Quanto）

下面我们来细细研究每种类型的 Quanto。首先标识两个测度符号：

• T^CUR：CUR 的远期测度

• Q^CUR：CUR 的风险中性测度

1

利率 Quanto

自然估值货币是欧元，结算货币是美元

考虑一份利率 Quanto 上限合约（IR Quanto Cap, IRQ Cap），标的利率是 EUR EURIBOR，自然估值货币为 EUR，但该合约以 USD 结算。该合约的支付是 L^EUR(U, U, T) 的函数，其中 U 是 EURIBOR 定盘日，而 T 是支付日。由于是以 USD 结算，那么在 T^USD 测度下（注意不是 T^EUR 测度），该利率上限的价值为

上式中 Q 是 Quanto 因子，通常是 EURUSD 的即期汇率或者在 T 时点的远期汇率。

EURIBOR L^EUR(t, U, T) 在 T^EUR 测度下是鞅，但在 T^USD 测度下不是，假设为它服从几何布朗运动，我们目标就是求出漂移项 μ，

推导思路很巧妙，需要构造几个在 T^USD测度下是鞅的变量，比如

• X^EURUSD(T)：利率平价公式推出的远期汇率为 S^EURUSD(t)·P^EUR(t, T)/ P^USD(t, T)，分母是 T^USD 测度对应的等价物（numeraire）

• L^EUR(t, U, T)·X^EURUSD(T)：表达式为L^EUR(t, U, T)·S^EURUSD(t)·P^EUR(t,T)/P^USD(t, T)

为了简化符号，我们用 L 代表 L^EUR(t, U, T)，用 X 代表 X^EURUSD(T)，在推导中我们只关注 dt

因为 L·X 是鞅，那么漂移项为 0，解得 μ = -ρ_L,Xσ_Lσ_X。

对比 L^EUR(t, U, T) 在 T^EUR 和 T^USD 测度下的 SDE ，注意两个 SDE 对应的布朗运动项不一样。

两式相减可得到两个布朗运动之间的关系

自然估值货币是美元，结算货币是欧元

接着再考虑一个和上面 IRQ Cap 相似的合约，其自然估值货币和结算货币正好相反，标的利率是 USD LIBOR，自然估值货币为 USD，但该合约以 EUR 结算，那么该合约在 T^EUR 测度下的价值为

上式中 Q 是 Quanto 因子，通常是 USDEUR 的即期汇率或者在 T 时点的远期汇率。

现在我们目标是求出在 T^EUR 测度下 LIBOR L^USD(t, U, T) 的 SDE

推导思路和上面类似，需要构造几个在 T^EUR 测度下是鞅的变量，比如

• X^USDEUR(T)：表达式为 S^USDEUR(t)·P^USD(t, T)/ P^EUR(t, T)

• L^USD(t, U, T) · X^USDEUR(T)：表达式为 L^USD(t, U, T)·S^USDEUR(t)·P^USD(t,T)/ P^EUR(t, T)

为了简化符号，我们用 L 代表 L^USD(t,U, T)，用 X 代表 X^USDEUR(T)，推导过程和上面一模一样，整理 dt 项前系数即可

因为 L·X 是鞅，那么漂移项为 0，解得，注意 X 是 USDEUR 的汇率，但市场通常是以 EURUSD 形式报价，那么波动率和相关系数表达式为

按照市场报价惯例，用 X 代表 EURUSD 形式，根据上面两个等式，推出 μ = ρ_L,Xσ_Lσ_X。

推广和总结

定义结算货币为 Quanto 货币，符号为 QUT；自然估值货币为本币，符号为 DOM，当 QUTDOM

• 和市场报价惯例一致，比如 EURUSD 和 USDJPY，μ = -ρ_L,Xσ_Lσ_X

• 和市场报价惯例不一致，比如 USDEUR 和 JPYUSD，μ = ρ_L,Xσ_Lσ_X

对比在 T^DOM 和 T^QUT 测度下的 L^DOM(t, U, T) 的两个 SDE，发现唯一区别就是后者比前者多了个漂移项，±ρ_L,Xσ_Lσ_X

因此在估值 Quanto 合约时，我们只需调整 L^DOM(0, U, T) 值，然后直接带入非 Quanto 合约的公式中就行了。

其中 ρ_L,X 根据「特定IBOR」和「特定货币对即期汇率」的历史数据计算出来。

2

商品和股票 Quanto

商品和股票 Quanto 非常类似，因此我们只以商品 Quanto 举例。

自然估值货币是美元，结算货币是人民币

考虑一份商品 Quanto 看涨期权合约（Commodity Quanto Call, CMQ Call）标的商品是布伦特原油（brent oil），因此自然估值货币为 USD，但用 CNY 结算。该合约的支付是商品价格 C^USD(T) 的函数，T 是支付日。由于是以 CNY 结算，那么在 Q^CNY 测度下（注意不是 Q^USD测度），期权价值为

上式中 Q 是 Quanto 因子，通常是 USDCNY 的即期汇率或者在 T 时点的远期汇率。

假设 C^USD(t) 在 Q^USD 测度下服从几何布朗运动，暂时忽略商品的便利收益（convenience yield），那么 C^USD(t) 的 SDE 的漂移项为 r_USD，我们目标是求出 C^USD(t) 在 Q^CNY 测度下的漂移项 μ，

推导思路很巧妙，构造变量 C^USD(t) · X^USDCNY(t)/β^CNY(t) 使其在 Q^CNY测度下是鞅，其中

• X^USDCNY(t)：时点 t 的 USDCNY 的汇率值

• β^CNY(t)：时点 t 的 CNY 银行账户值

为了简化符号，我们用 C 代表 C^USD(t)，用 X 代表 X^USDCNY(t)，用 β 代表 β^CNY(t)，X 和 β 在 Q^CNY 测度下是鞅的 SDE 为

在推导中我们只关注 dt

因为 C·X/β 是鞅，那么漂移项为 0，解得 μ = r_USD - ρ_C,Xσ_Cσ_X。

对比 C^USD(t) 在 Q^USD 和 Q^CNY 测度下的 SDE ，注意两个 SDE 对应的布朗运动项不一样。

两式相减可得到两个布朗运动之间的关系

自然估值货币是人民币，结算货币是美元

接着再考虑一个和上面 CMQ Call 相似的合约，标的商品是上海金（Shanghai gold），因此自然估值货币为 CNY，但用 USD 结算，那么该合约在 Q^USD 远期测度下的价值为

上式中 Q 是 Quanto 因子，通常是 CNYUSD 的即期汇率或者在 T 时点的远期汇率。

现在我们目标是求出在 Q^USD 测度下 C^CNY(t) 的 SDE

推导思路和上面类似，构造变量 C^CNY(t) ·X^CNYUSD(t)/β^USD(t) 使其在 Q^USD测度下是鞅。为了简化符号，我们用 C 代表 C^CNY(t)，用 X 代表 X^CNYUSD(t)，用 β 代表 β^USD(t)，最后推出

因为 C·X/β 是鞅，那么漂移项为 0，解得 μ = r_CNY - ρ_C,Xσ_Cσ_X。注意 X 是 CNYUSD 的汇率，但市场通常是以 USDCNY 形式报价，那么波动率和相关系数表达式为

按照市场报价惯例，用 X 代表 USDCNY 形式，根据上面两个等式，推出 μ = r_CNY + ρ_C,Xσ_Cσ_X。

推广和总结

定义结算货币为 Qunato货币，符号为 QUT；自然估值货币为本币，符号为 DOM。当 QUTDOM

• 和市场报价惯例一致，比如 USDCNY，μ = r_DOM + ρ_C,Xσ_Cσ_X

• 和市场报价惯例不一致，比如 CNYUSD，μ = r_DOM - ρ_C,Xσ_Cσ_X

当考虑商品的便利收益 q  时，对比在Q^DOM 和 Q^QUT 测度下的 C^DOM(t) 的两个 SDE，发现唯一区别就是后者比前者多了个漂移项，±ρ_C,Xσ_Cσ_X

因此在估值 Quanto 合约时，我们只需调整商品价格 C(T) 的远期值 F(0, T)，然后直接带入非 Quanto 合约的公式中就行了。

其中 ρ_C,X 根据「特定商品即期价格」和「特定货币对即期汇率」的历史数据计算出来。

3

外汇 Quanto

考虑一份外汇 Quanto 看涨期权合约（Foreign Exchange Quanto, FXQ），标的汇率是 USDJPY，因此期权金自然估值货币为 JPY，但用 EUR 结算。该合约的支付是汇率 X^USDJPY(T) 的函数，T 是支付日。期权价值为

上式中 Q 是 Quanto因子，通常是 JPYEUR 的即期汇率或者在 T 时点的远期汇率。

我们知道在 Q^JPY测度下，X^USDJPY(t) 的 SDE 为

但由于是以 EUR 结算，我们需要 X^USDJPY(t) 在 Q^EUR 测度下的 SDE，使用外汇三角关系（triangle relationship）得到

再在 Q^EUR 测度下，写出 X^USDEUR(t) 和 X^JPYEUR(t) 的 SDE 为

为了简化符号，我们

• 用 X₁, X₂, X₃ 代表 X^USDJPY(t), X^USDEUR(t), X^JPYEUR(t)，那么 X₁= X₂/X₃

• 用 r­_E, r_U, r_J 代表 r­_EUR, r_USD, r_JPY

• 用 σ₁, σ₂, σ₃ 代表 σ_USDJPY, σ_USDEUR, σ_JPYEUR

• 用 W₁, W₂, W₃ 代表 W_USDJPY(t), W_USDEUR(t), W_JPYEUR(t)

值得注意的是，这三个布朗运动是相关的

那么在 Q^EUR 测度下，对 X₁ 求导得到

最后一行的证明如下。

推广和总结

在 FXQ 中，定义结算货币为 Qunato 货币，符号为 QUT；给定货币对 FORDOM，外币符号为 FOR，本币符号为 DOM。上式的 ρ 是 FORDOM 和 DOMQUT 对数收益率之间的相关性。

回到上面具体的合约，对一笔到期日为 T 的用 EUR 结算的 USDJPY 外汇 Quanto 期权而言，QUT 是 EUR，FOR 是 USD，DOM 是 JPY，那么 ρ 是 USDJPY 和 JPYEUR 对数收益率之间的相关性，具体公式给定如下：

上式中的波动率都可从 EURUSD、USDJPY 和 EURJPY 的 ATM 波动率曲线上 T 时点获取。

对比在 Q^DOM 和 Q^QUT 测度下的 X^FORDOM(t) 的两个 SDE，发现唯一区别就是后者比前者多了个漂移项。

因此在估值 Quanto合约时，我们只需调整即期汇率 X^FORDOM(T) 的远期值 F^FORDOM(0, T)，然后直接带入非 Quanto 合约的公式中就行了。

4

总结

一表胜千言。

用 M(t) 来抽象表示通用变量 L(t, U, T), C(t), S(t) 和 X(t)，它在自然估值货币 DOM 和结算货币 QUT 不同测度下的 SDE 可写成

两者之间的唯一差异就是 μ，计算 M(U) 在对应的两个测度下的期望，得到

因此定价 Quanto 产品分三步：

1. 首先计算标的资产在到期日 U 的期望值 F(0, U)

2. 接着乘上 Quanto 调整项 exp(μU) 得到 F(0, U) × exp(μU)

3. 最后将其带入已推导出来的非 Quanto 产品定价公式

下帖讲时间调整（Time Adjustment）。

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