线性代数笔记(4) 特征向量/值与基变换

学到很后面才接触到这两个概念，然而突然发现，居然早在三年前高考的道路上，我就已经会用应试的方法处理这个问题了！！都想通后发现其实没什么很好理解。
P13 和P14 一起看，尝试去理解特征向量的意义核心
https://www.bilibili.com/video/BV1ys411472E?p=13
https://www.bilibili.com/video/BV1ys411472E?p=14
本节的图源依然来自上述视频

特征向量/值的定义

对于一个矩阵，
它的若干组特征向量与特征值
满足下面的等式，也就是代数定义

它的几何意义是说，A这个线性变换作用到特征向量上，仅仅是对特征向量进行了一定的放缩，

而没有改变其方向，这样的话就与特征向量进行一个特定的数乘没有任何区别了。这个数乘的值，就是特征值。

特征向量/值的意义

当我们想要去描述对空间中的某个向量进行复杂的变换时，可以研究这个复杂变换的特征向量对空间某向量的描述关系，然后通过将复杂变换作用到特征向量上，并转化为特征值作用到特征向量上，最后实现对原向量的变换的描述

一个简单的例子，就视频中的题目，（其实也就是多年前江苏数学考试附加题送分题

你可以不用尝试分辨图中密密麻麻的字，后面的讲解与之关系不大

下图的矩阵是一个非常经典的矩阵

它描述了一个斐波那契数列变换：

而这个变换作用到一个向量上，代数上有一个特殊含义，就是以这个向量的两个分量为斐波那契的第一、二个位置得数，求后一个数，作用几次就是求后几个数。

众所周知使用数列进行斐波那契数列得通项公式得求解是很难得，尤其，是在初始值可以自定义得情况下。

因此这里可以利用特征向量/特征值为工具

A矩阵有两组特征向量/值，（这里要算的话可以用斐波那契的特性直接写答案）

因此假设我们要对初始值为[1 1]的数列求其斐波那契数列通项，即下图

先尝试用这个矩阵的特征向量描述我们要作用的向量，由于这两个特征向量不共线，他们俩可以长成整个空间，因此空间中随便一个向量都可以用他们俩表示出来

做一些简单的代入，就可以发现，复杂的矩阵变换完全被规避掉了，只剩下简单的实数的幂

完全可以动笔算一下并不难，我也算了一遍体会了一下特征向量和特征值的组合拳的威力，把斐波那契数列虐的不要不要的
求解xy

代入化简

与下式是一致的，稍微有一些不同是初始数选的不同

和基变换的关系

上述的流程本质就是进行基变换。[1 1]初始向量是我们标准基（[1 0] [0 1]）下对这个向量的描述

而[x y]就是以那两个特征向量为基，描述同一个向量的坐标

这就是基变换。

你可能在纠结此时我们的变换矩阵不还是以标准基进行描述么，要不要因为基变换了而对这个变换矩阵的描述进行变换呢？

其实这是一种绝对化思想。

认为变换矩阵还是以标准基进行描述的原因在于，认为这个矩阵一定是将[1 0] [0 1]这对标准基变换到某个这个矩阵的两列向量上去，在第一节你可以这么想，但不够深入。

但其实这是一个相对的事情，矩阵变换是将整个空间进行了一次变换，而恰好我们可以用
将[1 0] [0 1]这对标准基变换到这个矩阵的两列向量上去 去描述，或者说代表这样一个 空间的变换 而这个空间的变换本身，是不依赖于谁是这个空间的基的

任意向量变换前后相对于不同基的坐标是不同的，但是变换前和变换后的两个向量本身没有变化

这里整理思考一下，基变换，和将对基进行矩阵变换视作空间的变换的不同之处

前者是换一种方式描述整个空间，空间是不变的
后者是空间变换了，我们用基的变换来描述这件事情