背景

(创作声明：包含虚构创作)

自从阴暗潮湿的沼泽地里莫名其妙生长出红树的那一刻起，有一种传说中的红皮肤怪物诞生了。
它们在沼泽莲叶上发出诱人的声响，它们身形小巧，穿梭于水草和藤蔓之间。
第一天便有经过的傻子村民被它生吞。村民们找遍了沼泽外围，连尸体都没看见。和他一齐失踪的还有常年在附近山地生活，偶尔下沼泽地喝水的一只山羊。
第二天，村民们隔着老远听到女巫的惨叫。当提着剑和牛奶的村民们赶到附近时，只见到红皮肤魔头远遁的身影。
村民们一向惧怕的女巫，也未能幸免。
沼泽附近的村庄笼罩在恐惧的阴霾中。
……
几个月后，一位身着蓝色铠甲的勇者来到村庄，他有很多东西，与村民们进行了友好的交易，借住在村民的小木屋里。不大的村庄里充满了快活的空气。后一天村民们发现，一直以来守护村庄的强大铁人不见了。
那一天，村民们回想起了被红皮肤魔头支配的恐惧。
勇者决定亲自去沼泽地探查，我和另外几个胆大的村民跟了上去。
结果却极其惨烈……上帝啊！我们为勇者默哀！
当我们到达沼泽地外围时，就迎面遇上了魔头！勇者毫无戒备地走了过去，说：“这不就是个……”
话音未落，他就被魔头一口吞掉了！
我们逃得很慌，根本来不及回头看，只听见魔头近似嬉笑的响声渐渐远去……
~
——沼泽村庄图书馆：《村民回忆录》

题面

当Mojump更新了1.19快照版本时，std通过摸鱼了解了所有更新的内容，包括沼泽红树林，红色的青蛙，泥土等等……

他当然也知道了青蛙刚出来时有个特性，那就是吞噬一切，包括玩家。所以他打算到沼泽地去探险。

他开启了一个新地图，并出生在了一块 n×mn\times mn×m 的沼泽地。该地有些位置的草地刚触及海平面，另一些位置则低了一格，被水填充。

std 现在有一个有意思的问题，由于种子特性，地图生成时该区域 n×mn\times mn×m 个位置各有一个独立的概率 ai,ja_{i,j}ai,j 会低一格，被水填充。他想知道最大的单个水池面积的期望大小。单个水池可以理解为一个被水填充的格子的极大四联通块。

ai,ja_{i,j}ai,j 和答案都对 998244353998244353998244353 取模。（并不是用多项式的暗示）

1≤n,m≤40,n×m≤40.1\leq n,m\leq 40,n\times m\leq 40.1≤n,m≤40,n×m≤40.

题解

（由于题解极其简略，我多花了点时间在题面背景上摸鱼）

由于 n×mn\times mn×m 不超过 40，所以 n,mn,mn,m 的最小值不超过 6，我们不妨设 n≤mn\leq mn≤m ，那么我们可以维护当前列的连通性、每个连通块的大小、扫过的连通块的最大大小——作为状态（!）设计DP。

当你用精心打磨出的大模拟爆搜对总合法状态数进行计算后，会发现它最大在 1.6e51.6e51.6e5 左右。

实现上，把连通性用最小表示法后，大可直接用 map 存 DP 状态（pair<int,string>，最大大小和连通块大小都不超过 40，可以用 char）然后带一个 log⁡\loglog 的全局复杂度加成进行计算。不然，可能有亿点麻烦。

最终用插头DP的方式转移，总时间复杂度 O(可过)O(可过)O(可过) （两个log⁡\loglog？）。

CODE

pair 的第一位存的是最小表示法，第二位的 string 第一个位置存最大连通块大小，后面的位置存当前列每个连通块的大小。

#include<map>
#include<set>
#include<cmath>
#include<queue>
#include<stack>
#include<random>
#include<bitset>
#include<vector>
#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<iostream>
#include<algorithm>
using namespace std;
#define MAXN 500005
#define LL long long
#define ULL unsigned long long
#define ENDL putchar('\n')
#define DB double
#define lowbit(x) (-(x) & (x))
#define FI first
#define SE second
int xchar() {static const int maxn = 1000000;static char b[maxn];static int pos = 0,len = 0;if(pos == len) pos = 0,len = fread(b,1,maxn,stdin);if(pos == len) return -1;return b[pos ++];
}
//#define getchar() xchar()
LL read() {LL f = 1,x = 0;int s = getchar();while(s < '0' || s > '9') {if(s<0)return -1;if(s=='-')f=-f;s = getchar();}while(s >= '0' && s <= '9') {x = (x<<1) + (x<<3) + (s^48);s = getchar();}return f*x;
}
void putpos(LL x) {if(!x)return ;putpos(x/10);putchar((x%10)^48);}
void putnum(LL x) {if(!x) {putchar('0');return ;}if(x<0) putchar('-'),x = -x;return putpos(x);
}
void AIput(LL x,int c) {putnum(x);putchar(c);}const int MOD = 998244353;
int n,m,s,o,k;
int a[45][45],pr[45][45];
int id[5000005],to[5000005],tp[5000005],cnt;
int findd(int S) {int ty[10] = {},xx = S,a[10],cn = 0,c2 = 0,rs = 0;while(xx) a[++ cn] = xx%10,xx /= 10;for(int i = cn;i > 0;i --) {if(a[i] && !ty[a[i]]) ty[a[i]] = ++ c2;rs = rs*10+ty[a[i]];}return id[rs];
}
string ep = "0";
pair<int,string> dw(int S,string b) {int ty[10] = {},xx = S,a[10],cn = 0,c2 = 0,rs = 0,mx = b[0];int bu[10] = {};string re = ep; re[0] = (char)mx;for(int i = 1;i < (int)b.size();i ++) bu[i] = b[i];while(xx) a[++ cn] = xx%10,xx /= 10;for(int i = cn;i > 0;i --) {if(a[i] && !ty[a[i]]) ty[a[i]] = ++ c2,re += (char)bu[a[i]];rs = rs*10+ty[a[i]];}return {rs,re};
}
void dfs(int x,int mx,int S) {if(x > n) {id[S] = ++ cnt;to[cnt] = S; tp[cnt] = mx;return ;}for(int i = 0;i <= mx+1;i ++) {dfs(x+1,max(mx,i),S*10+i);}return ;
}
map<pair<int,string>,int> dp,pd;
int pw[10];
int main() {freopen("memory.in","r",stdin);freopen("memory.out","w",stdout);n = read(); m = read();int mx = 0;for(int i = 1;i <= n;i ++) {for(int j = 1;j <= m;j ++) {pr[i][j] = read();mx = max(mx,pr[i][j]);}}if(n > m) {swap(n,m);for(int i = 1;i <= n;i ++) {for(int j = 1;j <= m;j ++) {a[i][j] = pr[j][i];}}}else {for(int i = 1;i <= n;i ++) {for(int j = 1;j <= m;j ++) {a[i][j] = pr[i][j];}}}dfs(0,0,0);pw[0] = 1;for(int i = 1;i <= n;i ++) pw[i] = pw[i-1]*10;for(int i = 1;i < pw[n];i ++) {id[i] = findd(i);}ep[0] = (char)0;dp[{0,ep}] = 1;for(int c = 1;c <= m;c ++) {for(int r = 1;r <= n;r ++) {pd.clear(); swap(pd,dp);for(auto i = pd.begin();i != pd.end();i ++) {int mx = i->FI.SE[0],s = i->FI.FI;string bu = (i->FI).SE;int l = (s/pw[r-1])%10,u = (r==1 ? 0:(s/pw[r-2])%10);pair<int,string> nx = dw(s-l*pw[r-1],bu);(dp[nx] += i->SE*1ll*(MOD+1-a[r][c])%MOD) %= MOD;if(a[r][c]) {if(!l && !u) {int ma = tp[id[s]]; bu[0] = (char)max(mx,1);bu += (char)1;nx = dw(s+(ma+1)*pw[r-1],bu);(dp[nx] += i->SE*1ll*a[r][c]%MOD) %= MOD;}else if(!l || !u || l == u) {int ii = max(l,u);bu[ii] = bu[ii]+1; bu[0] = (char)max(mx,(int)bu[ii]);nx = dw(s-l*pw[r-1]+ii*pw[r-1],bu);(dp[nx] += i->SE*1ll*a[r][c]%MOD) %= MOD;}else {for(int j = 0;j < n;j ++) {if((s/pw[j])%10 == u) {s += (l-u)*pw[j];}}bu[l] += bu[u]+1; bu[0] = (char)max(mx,(int)bu[l]);nx = dw(s,bu);(dp[nx] += i->SE*1ll*a[r][c]%MOD) %= MOD;}}}}}int ans = 0;for(auto i = dp.begin();i != dp.end();i ++) {(ans += ((int)i->FI.SE[0])*1ll*i->SE%MOD) %= MOD;}AIput(ans,'\n');return 0;
}

后记

该特性的首次发现，便是一只青蛙吞了一只山羊。

“剑和牛奶”：众所周知，牛奶可以针对性地对女巫造成极大伤害（

勇者：“这不就是个癞蛤蟆？”

铁傀儡为什么消失了？这个不清楚，我只知道勇者的背包里多了四块铁锭。

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