生长算法实现点集的三角剖分（ Python（Tkinter模块））

关于三角剖分

假设V是二维实数域上的有限点集，边e是由点集中的点作为端点构成的封闭线段, E为e的集合。那么该点集V的一个三角剖分T=(V,E)是一个平面图G，该平面图满足条件：
1.除了端点，平面图中的边不包含点集中的任何点。
2.没有相交边。
3.平面图中所有的面都是三角面，且所有三角面的合集是散点集V的凸包。
在实际中运用的最多的三角剖分是Delaunay三角剖分，它是一种特殊的三角剖分。
【定义】Delaunay边：假设E中的一条边e（两个端点为a,b），e若满足下列条件，则称之为Delaunay边：
存在一个圆经过a,b两点，圆内(注意是圆内，圆上最多三点共圆)不含点集V中任何其他的点，这一特性又称空圆特性。
【定义】Delaunay三角剖分：如果点集V的一个三角剖分T只包含Delaunay边，那么该三角剖分称为Delaunay三角剖分。

关于Delaunay三角剖分算法可以参考百度百科Delaunay三角剖分算法

我做三角剖分的目的——构建TIN，不规则三角网

不规则三角网（TIN）是DEM的重要形式之一，相较于规则格网，其具有数据冗余小、细节丢失少的特点。
在分布不规则的高程点之间构建出三角网，其关键技术就是三角剖分

算法步骤

1、首先任选一点，在点集中找出距离改点最近的点连成一条线，以该线为基线。
2、在所有点中寻找能与该基线构成具有空圆性三角形的点，并构成三角形。
3、以新生成的边为基线，重复第二步，直至点集构网完成。

具体代码如下

所使用的python版本为python3.6，编辑器为Pycharm2018.3.1

#-*- coding:utf-8 -*-import tkinter
from tkinter import filedialog
import csv#根据两点坐标计算距离
def caldis(x1,y1,x2,y2):return ((x1-x2)**2+(y1-y2)**2)**0.5#输入三角形三个顶点，计算外接圆圆心及半径
def calcenter(x1,y1,x2,y2,x3,y3):y1=-y1  #计算公式是根据平面直角坐标推算的，原点在左下角，但是计算机屏幕坐标原点在右上角，所以计算式y坐标取负y2=-y2y3=-y3if (y1 != y3 and y1 != y2 and y2 != y3): #判断是否有y坐标相等，即三角形某边斜率为0的情况，避免出现坟分母为0的错误if(((x3-x1)/(y3-y1))-((x2-x1)/(y2-y1)))==0:x2=x2+1x=(((y1+y3)/2)+((x1+x3)/2)*((x3-x1)/(y3-y1))-((y1+y2)/2)-((x1+x2)/2)*((x2-x1)/(y2-y1)))/(((x3-x1)/(y3-y1))-((x2-x1)/(y2-y1)))y=-((x3-x1)/(y3-y1))*x+((y1+y3)/2)+(((x1+x3)/2)*((x3-x1)/(y3-y1)))return (x, -y, caldis(x, y, x1, y1))elif (y1 == y3 and y1 != y2 and y2 != y3):#若存在斜率为0的边则计算可简化x=(x1+x3)/2y=-((x2-x1)/(y2-y1))*x+((y1+y2)/2)+((x2-x1)/(y2-y1))*((x1+x2)/2)return (x, -y, caldis(x, y, x1, y1)) #返回值为元组（圆心横坐标x，圆心纵坐标y，外接圆半径r），计算出来的y值要返回屏幕坐标所以再次取负elif (y1 != y3 and y1 == y2 and y2 != y3):x = (x1 + x2) / 2y = -((x3 - x1) / (y3 - y1)) * x + ((y1 + y3) / 2) + ((x3 - x1) / (y3 - y1)) * ((x1 + x3) / 2)return (x, -y, caldis(x, y, x1, y1))elif (y1 != y3 and y1 != y2 and y2 == y3):x = (x3 + x2) / 2y = -((x3 - x1) / (y3 - y1)) * x + ((y1 + y3) / 2) + ((x3 - x1) / (y3 - y1)) * ((x1 + x3) / 2)return (x, -y, caldis(x, y, x1, y1))else:return Noneclass getTIN: #定义窗口及操作类def __init__(self):self.path=str() #坐标文件路径self.pointlist=[] #存放所有点坐标的列表self.linelist=[] #存放线的列表，每条线用两个点号表示连线self.tk=tkinter.Tk() #定义主窗口self.tk.title('MyTIN')self.tk.geometry('1200x720')self.shengzhang=tkinter.Button(self.tk,text='生长算法',width=15,command=self.drawTIN_shengzhang)self.shengzhang.place(x=1050,y=100)  #定义按钮，关联到生长算法计算TIN的的函数self.readin=tkinter.Button(self.tk,text='读入坐标文件',width=15,command=self.getfile)self.readin.place(x=1050,y=50)self.can=tkinter.Canvas(self.tk,width=950,height=620,bg='white')self.can.place(x=50,y=50)self.tk.mainloop()def getfile(self):  #选择坐标文件（*.csv），从文件中读入坐标存入pointlist列表并在绘图区展示出来self.path=filedialog.askopenfilename()f=open(self.path,'r')fd=csv.reader(f)self.pointlist=list(fd)for i in range(0,len(self.pointlist)):self.can.create_oval(int(self.pointlist[i][0])-2,int(self.pointlist[i][1])-2,int(self.pointlist[i][0])+2,int(self.pointlist[i][1])+2,fill='black')self.can.create_text(int(self.pointlist[i][0])+7,int(self.pointlist[i][1])-7,text=str(i))def drawTIN_shengzhang(self):j = 1k = 0mindis = ((int(self.pointlist[0][0]) - int(self.pointlist[1][0])) ** 2 + (int(self.pointlist[0][1]) - int(self.pointlist[1][1])) ** 2) ** 0.5x = len(self.pointlist)for i in range(1, x):dis = ((int(self.pointlist[0][0]) - int(self.pointlist[i][0])) ** 2 + (int(self.pointlist[0][1]) - int(self.pointlist[i][1])) ** 2) ** 0.5if dis < mindis:mindis = disj = iself.linelist.append((k,j)) #首先计算出距起始点（点号为0）距离最短的点，以这两点的连线作为基线开始生长self.shengzhangjixian(k,j)def drawTIN(self): #根据线文件在绘图区绘制出TINfor i in self.linelist:self.can.create_line(self.pointlist[i[0]][0], self.pointlist[i[0]][1], self.pointlist[i[1]][0], self.pointlist[i[1]][1])def shengzhangjixian(self,i,j): #根据某一基线开始生长的函数x = len(self.pointlist)for k in range(0,x): #遍历没一个点，判断是否与基线构成D三角形n = 0 #n用于统计外接圆内的点数if ((k,i) not in self.linelist) and ((i,k) not in self.linelist) and ((j,k) not in self.linelist) and ((k,j) not in self.linelist):for y in range(0,x): #遍历每一个点，判断if y==i or y==j or y==k:continueif(calcenter(int(self.pointlist[i][0]),int(self.pointlist[i][1]),int(self.pointlist[j][0]),int(self.pointlist[j][1]),int(self.pointlist[k][0]),int(self.pointlist[k][1]))==None):continueelse:xyr=calcenter(int(self.pointlist[i][0]),int(self.pointlist[i][1]),int(self.pointlist[j][0]),int(self.pointlist[j][1]),int(self.pointlist[k][0]),int(self.pointlist[k][1]))if caldis(xyr[0],xyr[1],int(self.pointlist[y][0]),int(self.pointlist[y][1])) < xyr[2]: #判断点是否在外接圆内n=n+1else:continueelse:continueif n == 0: #判断是否为D三角形self.linelist.append((k,i)) #将新生成的边的端点号加入线列表self.drawTIN() #调用绘制函数绘制TINself.shengzhangjixian(k,i) #以生成的新边作为基线，迭代计算self.linelist.append((k,j))self.drawTIN()self.shengzhangjixian(k,j)else:continueif __name__ == '__main__':MyTIN=getTIN()

通过如下代码生成一组随机的点并存入文件

import random
import csv
from tkinter import filedialog
path=filedialog.askopenfilename()
OutAddress=open(path,'a',newline='')
csv_write = csv.writer(OutAddress,dialect='excel')
for i in range(0,20):x=random.randint(30,920)y=random.randint(30,590)out=(x,y)print(out)csv_write.writerow(out)

通过上面的程序我们得到一组坐标如下

将以上的点在界面中展示出来

点击生长算法运行得到结果

小结

生长算法在三角剖分算法中并不是什么高效的算法，其特点在于算法简单易行，但是计算量大，并且对于新插入的点无法更新，必须重新计算。相比之下，逐点插入算法虽然计算量仍然较大（似乎三角剖分计算量都不小），但是能实现对新插入点的更新而不用重头计算。

注：文中部分图片及介绍来自百度百科。