luogu P3647 [APIO2014] 连珠线

https://www.luogu.com.cn/problem/P3647

我写DP像cxk

发现只有两种连边的方式

假设最优的策略已经给了出来，那么一定存在选定某个点为根的时候，只存在第一种脸边的情况

于是跑换根DP即可

具体的话设f[u][0/1]f[u][0/1]f[u][0/1]表示uuu是否作为中间点uuu往上延伸，的最大得分

转移还是挺显然的

f[u][0]=∑v∈sonmax⁡(f[v][0],f[v][1]+w[v])f[u][0]=\sum\limits_{v\in son} \max(f[v][0],f[v][1]+w[v])f[u][0]=v∈son∑max(f[v][0],f[v][1]+w[v])
w[v]w[v]w[v]表示fa[u]−>ufa[u]->ufa[u]−>u的边权

f[u][1]=f[u][0]+max⁡(w[v]+f[v][0]−max⁡(f[v][0],f[v][1]+w[v]))f[u][1]=f[u][0]+\max(w[v]+f[v][0] - \max(f[v][0],f[v][1]+w[v]))f[u][1]=f[u][0]+max(w[v]+f[v][0]−max(f[v][0],f[v][1]+w[v]))
就是把上面vvv的贡献max⁡(f[v][0],f[v][1]+w[v])\max(f[v][0],f[v][1]+w[v])max(f[v][0],f[v][1]+w[v])挖掉，然后加上vvv作为起点往上延伸的贡献w[v]+f[v][0]w[v]+f[v][0]w[v]+f[v][0]

换根看起来不太好换

f[u][1]f[u][1]f[u][1]因为涉及到最大值，所以要记录uuu的儿子中的最大值和次大值

考虑换根转移

设ls[u][0/1]ls[u][0/1]ls[u][0/1]表示图中圈出来的那蓝色部分，那ls[fa][0/1]ls[fa][0/1]ls[fa][0/1]表示的就是图中圈起来的绿色部分

因为f[u][1]f[u][1]f[u][1]转移维护最大值的时候没有维护到父亲的转移，所以要用ls[fa]ls[fa]ls[fa]来重新更新一下ls[u]ls[u]ls[u]

然后设g[u][0]g[u][0]g[u][0]表示以uuu为根的答案

然后按照上面说的转移即可

具体实现看代码吧

code:

#include<bits/stdc++.h>
#define N 400050
#define ll long long
using namespace std;
struct edge {int v, nxt, c;
} e[N << 1];
int p[N], eid;
void init() {memset(p, -1, sizeof p);eid = 0;
}
void insert(int u, int v, int c) {e[eid].v = v;e[eid].c = c;e[eid].nxt = p[u];p[u] = eid ++;
}const ll inf = 1e18;
ll ma1[N], ma2[N], f[N][2], g[N][2], ls[N][2], w[N];
int son1[N], son2[N], n;
void dfs(int u, int fa) {ma1[u] = ma2[u] = - inf, son1[u] = son2[u] = 0;for(int i = p[u]; i + 1; i = e[i].nxt) {int v = e[i].v, c = e[i].c;if(v == fa) continue; w[v] = c;dfs(v, u);int o = max(f[v][0], f[v][1] + w[v]);f[u][0] += o;if(f[v][0] + w[v] - o > ma1[u]) son2[u] = son1[u], ma2[u] = ma1[u], ma1[u] = f[v][0] + w[v] - o, son1[u] = v;else if(f[v][0] + w[v] - o > ma2[u]) ma2[u] = f[v][0] + w[v] - o, son2[u] = v;}f[u][1] = f[u][0] + ma1[u];
}
void dfss(int u, int fa) {for(int i = p[u]; i + 1; i = e[i].nxt) {int v = e[i].v, c = e[i].c;if(v == fa) continue;if(son1[u] == v) swap(son1[u], son2[u]), swap(ma1[u], ma2[u]);ls[u][0] = g[u][0] - max(f[v][0], f[v][1] + w[v]);ls[u][1] = ls[u][0] + ma1[u];if(fa) ls[u][1] = max(ls[u][1], ls[u][0] + ls[fa][0] + w[u] - max(ls[fa][0], ls[fa][1] + w[u]));g[v][0] = f[v][0] + max(ls[u][0], ls[u][1] + w[v]);if(ma1[u] < ma2[u]) swap(son1[u], son2[u]), swap(ma1[u], ma2[u]);dfss(v, u);}
}
int main() {init();scanf("%d", &n);for(int i = 1; i < n; i ++) {int u, v, c;scanf("%d%d%d", &u, &v, &c);insert(u, v, c), insert(v, u, c);}dfs(1, 0); g[1][0] = f[1][0];dfss(1, 0);// for(int i = 1; i <= n; i ++) printf("%lld ", f[i][0]); printf("\n");// for(int i = 1; i <= n; i ++) printf("%lld ", g[i][0]); printf("\n");ll ans = 0;for(int i = 1; i <= n; i ++) ans = max(ans, g[i][0]);printf("%lld", ans);return 0;
}

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