判断一个数是否为质数/素数——从普通判断算法到高效判断算法思路

因为看了上面这篇文章，感觉思路很棒，但原文是用C++写的，所以想写个python的版本。本文的大体结构与原文类似。

质数的定义：在大于1的自然数中，除了1和它本身以外不再有其他因数。

1）直观判断法

1. def isPrime(num):
2. for i in range(num):
3. for j in range(2, num):
4. if i % j == 0:
5. break
6. else:
7. return True

2）直观判断法改进

1. from math import sqrt
2. def isPrime(num):
3. for i in range(num):
4. for j in range(2, int(sqrt(num))):
5. if i % j == 0:
6. break
7. else:
8. return True

3）质数规律判断法

首先看一个关于质数分布的规律：大于等于5的质数一定和6的倍数相邻。例如5和7，11和13,17和19等等；

证明：令x≥1，将大于等于5的自然数表示如下：

······6x-2，6x-1，6x，6x+1，6x+2，6x+3，6x+4，6x+5，6x+6，6x+7······

也就是

······2(3x-1)，6x-1，6x，6x+1，2(3x+1)，3(2x+1)，2(3x+2)，6x+5，6(x+1)，6(x+1)+1······

可以看到，不在6的倍数两侧，即6x两侧的数为6x+2，6x+3，6x+4，由于2(3x+1)，3(2x+1)，2(3x+2)，所以它们一定不是素数，再除去6x本身，显然，素数要出现只可能出现在6x的相邻两侧。这里要注意的一点是，在6的倍数相邻两侧并不是一定就是质数。

1. from math import sqrt
2. def isPrime(num):
3. if num == 2 or num == 3: # 两个较小的数进行处理
4. return True
5. if num % 6 != 1 and num % 6 != 5: # 不在6的倍数的两侧的一定不是质数
6. return False
7. tmp = int(sqrt(num))
8. for i in range(5, tmp+1): # 在6的倍数两侧的也可能不是质数
9. if num % i == 0 or num % (i+2) == 0:
10. return False
11. return True # 剩下的全是质数

1. for i in range(2, 200): # 这里的range函数起始值必须为2，否则第3种方法运行时会把1当作质数输出
2. if isPrime(i):
3. print(i, end=' ')