量子力学(4) 全同粒子
如果势能与时间无关,那么 Ψ = ψ e − i E t / ℏ \Psi=\psi e^{-iEt/\hbar} Ψ=ψe−iEt/ℏ, E E E是系统的总能量。
全同粒子分为玻色子和费米子。所有电子是全同的费米子。所有质子是全同的费米子。全同就是说不可能区分出其中的一个,比如说你摇了五个骰子,在掀开盖子之前我们好像没必要区分出其中的一个骰子(这是好例子还是坏例子?)。
两个全同的费米子不能有相同的波函数,这是泡利不相容原则。
如果两个粒子全同,那么哈密顿算符对于他们是一样的,就是说质量相等,并且 V ( r 1 , r 2 ) = V ( r 2 , r 1 ) V(\bm{r_1},\bm{r_2})=V(\bm{r_2},\bm{r_1}) V(r1,r2)=V(r2,r1)。 P P P是交换算符,它的本征值是 ± 1 \pm 1 ±1。然后 P P P和 H H H对易。这很重要。我们知道 H H H的本征函数就是薛定谔方程的解了。那么它们也要是 P P P的本征函数,就是说 ψ ( r 1 , r 2 ) = ± ψ ( r 2 , r 1 ) \psi(\bm{r_1},\bm{r_2})=\pm\psi (\bm{r_2},\bm{r_1}) ψ(r1,r2)=±ψ(r2,r1)。这里,玻色子取正号,费米子取负号。这是一般情况;可以分开的情况是特殊的(可以看见特殊满足一般)。
对于电子,总的波函数还要乘上自旋,即 ψ χ \psi\chi ψχ。如果我们希望这个一共是反对称的,而如果要 ψ \psi ψ是对称的,就必须 χ \chi χ是反对称的,所以现实里1,1合成中选择0,0合成态。
20:40
可以找到不对称也不反对称的薛定谔方程的解。如果要构造属于全同粒子的解,可以构造。
自旋波函数和位置波函数必须一个对称一个反对称。
角动量的合成也和自旋角动量一样,范围是差的绝对值到和。
正氦因为自旋波函数是对称的,所以位置波函数是反对称的,所以电子之间离得远,排斥势能低。Parahelium反之。
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