后缀自动机入门/基本概念

教程链接
（本文为适应自己的理解，对原文做出删改，建议到原文学习）

后缀自动机可以干啥？

后缀自动机（SAM）可以解决许多字符串相关问题。是一个特别nb的数据结构。它可以：

1.在另一个字符串中搜索一个字符串的所有出现位置。
2.计算给定的字符串中有多少个不同的子串。

SAM是啥？

》》SAM是一个有向无环图。节点被称为状态，边就是状态之间的转移。
》》图存在一个源点 t 0 t_0 t0 ，称作初始状态，其它各结点均可从出发到达。
》》每个边上表示一个字母，类似边权，从一个节点出发的所有边字母都不同。
》》存在终止状态 。如果我们从 t 0 t_0 t0 出发，最终转移到了一个终止状态，则路径上的所有转移连接起来一定是字符串的一个后缀。字符串的每个后缀均可用一条从 t 0 t_0 t0到某个终止状态的路径构成。
》》最后以最少的节点构成上述的数据结构，我们就得到了一个后缀自动机。

SAM记录了字符串的所有子串信息，SAM上的任意一个从 t 0 t_0 t0出发的路径都是它的子串，每个子串都在SAM上找到一个对应路径。

构造SAM？

参考原教程图示即可理解。（做图太麻烦）

我们引入 e n d p o s ( t ) endpos(t) endpos(t)为字符串中t出现的位置。如：“abcbc” 我们有 e n d p o s ( “ b c ” ) = 2 , 4 endpos(“bc”) =2, 4 endpos(“bc”)=2,4
如果两个不同子串的 e n d p o s endpos endpos可能相等，我们把他们归为一个等价类。我们把这些等价类数量累计，然后+1,就是这个SAM的总状态数。我们可以用这个假设构造SAM。
对于这个 e n d p o s endpos endpos我们可以很容易的理解它的几个性质：

如果有两个endpos相同的子串，则存在一个肯定是另一个的后缀。

扩展一下：

如果有两个子串u和v，（设|u|<=|w|）则它们的endpos只有两种情况：
1. e n d p o s ( u ) ∩ e n d p o s ( w ) = ∅ endpos(u) \cap endpos(w)=\varnothing endpos(u)∩endpos(w)=∅
2. e n d p o s ( w ) ⊆ e n d p o s ( u ) endpos(w) \subseteq endpos(u) endpos(w)⊆endpos(u)
这由u是不是w的一个后缀决定。

后缀链接link
我们想象一个SAM的一个非空状态v,我们通过前面的学习，知道了v应该属于某endpos等价类。定义其中最长的一个子串为w。则，等价类其他的字符串都是w的后缀。另外，我们也知道，w的后缀构成的endpos等价类都把w构成的这个等价类包含在内。这时我们设一个w的最长后缀t。令t满足：
e n d p o s ( w ) ⊂ e n d p o s ( t ) endpos(w) \sub endpos(t) endpos(w)⊂endpos(t)
然后将v的后缀链接到t上。一个 l i n k ( v ) link(v) link(v)应该链接到对应于w的最长后缀的另一个endpos等价类的状态。则这些链接构成一棵树。
图示见原教程