根据评论，您有以下信息

%the test point

ri=0.53224;

ti = pi/8;

%formula fo generation of Z

g=9.81

z0=@(r)0.01*(g^2)*((2*pi)^-4)*(r.^-5).*exp(-1.25*(r/0.3).^-4);

D=@(t)(2/pi)*cos(t).^2;

z2=@(r,t)z0(r).*D(t) ;

%range of vlaues of r and theta

r=[0.05,0.071175,0.10132,0.14422,0.2053, 0.29225,0.41602,0.5922,0.84299,1.2];

t=[0,0.62832,1.2566,1.885, 2.5133,3.1416,3.7699,4.3982,5.0265,5.6549,6.2832];

并且您希望插入测试点。

当您对某些数据进行采样以将其用于插值时，您应该考虑如何根据您的要求对数据进行采样。

因此，当您对极坐标的常规网格进行采样时，这些坐标在转换为矩形时将形成圆形形状

大多数点都集中在cricle的中心，当我们从中心移动到外部区域时，点之间的距离增加。

%regular grid generated for r and t

[THETA R] = meshgrid(t ,r);

% Z for polar grid

Z=z2(R,THETA);

%convert coordinate from polar to cartesian(rectangular):

[X, Y] = pol2cart (THETA, R);

%plot points

plot(X, Y, 'k.');

axis equal

因此，当您使用这些点进行插值时，插值的精度在中心处较大，而在点之间距离增加的外部区域中则较低。

换句话说，使用这种采样方法，您更重视与外部区域相关的中心区域。

为了提高准确度，应增加网格点(r和theta)的密度，因此如果r和theta的长度为11，则可以创建大小为20的r和theta以提高精度。

另一方面，如果在直角坐标中创建常规网格，则每个区域都具有相同的重要性。因此，插值的准确性在所有地区都是相同的

首先，在极坐标中创建一个规则网格，然后将网格转换为直角坐标，这样就可以计算出直角坐标中采样点的范围(最小最​​大值)。基于此范围，您可以在直角坐标中创建规则网格

然后使用z2公式将直角坐标的规则网格转换为极坐标以获得网格点的z。

%get the extent of points

extentX = [min(X(:)) max(X(:))];

extentY = [min(Y(:)) max(Y(:))];

%sample 100 points(or more or less) inside a region specified be the extents

X_samples = linspace(extentX(1),extentX(2),100);

Y_samples = linspace(extentY(1),extentY(2),100);

%create regular grid in rectangular coordinates

[XX YY] = meshgrid(X_samples, Y_samples);

[TT RR] = cart2pol(XX,YY);

Z_rect = z2(RR,TT);

对于测试点的插值说[ri ti]首先将其转换为矩形，然后使用XX ,YY z值进行插值

[xi yi] = pol2cart (ti, ri);

z=interp2(XX,YY,Z_rect,xi,yi);

如果您无法更改数据采样方式，并且只有@RodyOldenhuis讨论的极点网格，您可以执行以下操作：

使用interp2插入极坐标(网格化数据的插值)

这种方法很简单，但缺点是r和θ不是相同的比例，这可能会影响插值的准确性。

z = interp2(THETA, R, Z, ti, ri)

将极坐标转换为矩形，然后应用针对散乱数据的插值方法。

这种方法需要更多的计算，但结果更可靠。

MATLAB具有griddata函数，给定散乱点首先生成点的三角剖分，然后在三角形顶部创建规则网格并插入网格点的值。

因此，如果要插入点[ri ti]的值，则应该应用第二个插值来从插值网格中获取点的值。

醇>

借助spatialanalysisonline和Wikipedia基于三角测量的线性插值的一些信息帮助(在Octave中测试。在较新版本的MATLAB中使用triangulation和{{1推荐而不是pointLocation和delaunay)：

tsearch

更多细化：

由于已知搜索点被4个点包围，因此我们只能使用这些点进行三角测量。这些点形成一个梯形。梯形的每个对角线形成两个三角形，因此使用梯形的顶点我们可以形成4个三角形，梯形内部的点也可以位于至少2个三角形中。

基于三角测量的先前方法仅使用来自一个三角形的信息，但是测试点的z可以从两个三角形的数据内插两次，并且计算的z值可以被平均以获得更好的近似。

ri=0.53224;

ti = pi/8;

[THETA R] = meshgrid(t ,r);

[X, Y] = pol2cart (THETA, R);

[xi yi] = pol2cart (ti, ri);

%generate triangulation

tri = delaunay (X, Y);

%find the triangle that contains the test point

idx = tsearch (X, Y, tri, xi, yi);

pts= tri(idx,:);

%create a matrix that repesents equation of a plane (triangle) given its 3 points

m=[X(pts);Y(pts);Z(pts);ones(1,3)].';

%calculate z based on det(m)=0;

z= (-xi*det(m(:,2:end)) + yi*det([m(:,1) m(:,3:end)]) + det(m(:,1:end-1)))/det([m(:,1:2) m(:,end)]);

结果：强>

%find 4 points surrounding the test point

ft= find(t<=ti,1,'last');

fr= find(cos(abs(diff(t(ft+(0:1))))/2) .* r < ri,1,'last');

[T4 R4] = meshgrid(t(ft+(0:1)), r(fr+(0:1)));

[X4, Y4] = pol2cart (T4, R4);

Z4 = Z(fr+(0:1),ft+(0:1));

%form 4 triangles

tri2= nchoosek(1:4,3);

%empty vector of z values that will be interpolated from 4 triangles

zv = NaN(4,1);

for h = 1:4

pts = tri2(h,:);

% test if the point lies in the triangle

if ~isnan(tsearch(X4(:),Y4(:),pts,xi,yi))

m=[X4(pts) ;Y4(pts) ;Z4(pts); [1 1 1]].';

zv(h)= (-xi*det(m(:,2:end)) + yi*det([m(:,1) m(:,3:end)]) + det(m(:,1:end-1)))/det([m(:,1:2) m(:,end)]);

end

end

z= mean(zv(~isnan(zv)))

结论强>：

与原始数据结构和采样方法相关的插值结果。如果采样方法匹配原始数据模式的插值结果更准确，那么在极坐标网格点遵循数据模式的情况下，常规极坐标插值结果可以更可靠。但是如果常规极坐标不匹配数据结构或数据结构如不规则地形，基于三角测量的插值方法可以更好地表示数据。