HMM模型 forward backward viterbi算法

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评估问题

隐马尔可夫模型中包含一个评估问题：已知模型参数，计算某一特定输出序列的概率。通常使用forward算法解决。

比如计算活动序列{读书，做清洁，散步，做清洁，散步}出现的概率，就属于评估问题。
如果穷举的话，观察序列会有2(晴or雨)^5种，需要分别计算它们出现的概率，然后找出概率最大的。

穷举法中有很多重复计算，向前算法就是利用已有的结果，减少重复计算。

向前算法借助于一个矩阵Q[LEN][M]，其中M是所有隐藏状态的种数，Q[i][j]表示从第0天到第i天，满足观察序列，且第i天隐藏状态为Sj时的所有可能的隐藏序列的概率之和。最终所求结果为Q[LEN-1][0]+…+Q[LEN-1][M-1]，即最后一天，所有隐藏状态下，分别满足观察序列的概率值之和。

向前算法

向前变量图示

向后算法

向后算法变量图示

前向-后向算法

解码问题 Viterbi算法

解码问题是：已知模型参数，寻找最可能的能产生某一特定输出序列O(LEN)的隐含状态的序列。通常使用Viterbi算法解决。

观察序列长度为LEN，隐藏状态序列长度是M，如果采用穷举法，就有M^LEN种可能的隐藏状态序列，我们要计算每一种隐藏状态到指定观察序列的概率，最终选择概率最大的。

穷举法中有很多重复计算，Viterbi算法就是利用已有的结果，减少重复计算。跟评估问题非常相似，不同点在于评估算的是和，解码算的是最大值。

Viterbi算法主要就是在计算一个矩阵Q[LEN][M]，其中Q[i][j]表示从第0天到第i天，满足观察序列，且第i天隐藏状态为Sj的所有可能的隐藏序列的概率的最大值。另外还要建立一个矩阵Path[LEN][M]，用来记录状态序列中某一状态之前最可能的状态。

举个例子，假如指定观察序列是{读书，做卫生，散步，做卫生，散步}，求出现此观察序列最可能的状态序列是什么。

Q[0][0]=p(第一天读书 , 第一天晴)=p(天晴)*p(读书|天晴) Path[0][0]=-1;
Q[0][1]=p(第一天读书 , 第一天下雨)=p(下雨)*p(读书|下雨) Path[0][1]=-1;

关键是从第二天开始，Q[1][0]表示：满足“第一天读书且第二做清洁且第二天晴”的所有可能的隐藏序列的概率的最大值。那么满足“第一天读书且第二做清洁且第二天晴”的所有可能的隐藏序列有哪些呢？

第二天是必须满足晴天的，第二天之前的状态可以任意变。则所有可能的隐藏序列就是“晴晴”和“雨晴”。实际上考虑第三天（及第三天以后）时，并不需要考虑“所有”可能的隐藏序列，而只需要考虑第二天的不同状态取值，这是因为马氏过程有无后效性–t时刻所处状态的概率只和t-1时刻的状态有关，而与t-1时刻之前的状态无关。

Q[1][0]=

max{ p(第一天晴, 第一天读书 , 第二天晴, 第二天做卫生) ，p(第一天下雨且第一天读书且第二天晴, 第二天做卫生) }

=max{ p(第一天读书, 第一天晴)*p(天晴转天晴)，p(第一天读书, 第一天下雨)*p(下雨转天晴) } * p(做卫生|天晴)

=max{ Q[0][0]*A[0][0]，Q[0][1]*A[1][0] } * B[0][2]

假如Q[0][0]*A[0][0] < Q[0][1]*A[1][0]，则Path[1][0]=1；假如Q[0][0]*A[0][0] > Q[0][1]*A[1][0]，则Path[1][0]=0。

Q[1][1]= ……
…… ……
可以看到计算Q矩阵的每i行时都用到了第i-1行的结果。

Viterbi算法词性标注

问题：已知已标记好词性的语料库，现给定一个句子S，求这个句子的词性Z。

根据朴素贝叶斯：P(词性|单词) = P(单词|词性)P(词性) 得到公式：

我们称给定句子为观测序列，需要求的词性为状态序列，A为观测概率矩阵，B为初始状态，C为状态转移概率矩阵，根据如上公式知道参数 = （A,B,pi)，即可求得状态序列。

向前算法代码

#-*-coding:utf-8-*-
__author__ = 'ZhangHe'
def forward(N,M,A,B,P,observed):p = 0.0#观测变量数目LEN = len(observed)#中间概率LEN*MQ = [([0]*N) for i in range(LEN)]#第一个观测变量的概率,隐藏状态的初始概率乘上隐藏状态到观测变量的条件概率。for j in range(N):Q[0][j] = P[j]*B[j][observation.index(observed[0])]#第一个之后的观测变量，首先从前一天的每个隐藏状态，转移到当前隐藏状态的概率求和，然后乘上当前隐藏状态到观测变量的条件概率。for i in range(1,LEN):for j in range(N):sum = 0.0for k in range(N):sum += Q[i-1][k]*A[k][j]Q[i][j] = sum * B[j][observation.index(observed[i])]for i in range(N):p += Q[LEN-1][i]return p
# 3 种隐藏层状态:sun cloud rain
hidden = []
hidden.append('sun')
hidden.append('cloud')
hidden.append('rain')
N = len(hidden)
# 4 种观察层状态:dry dryish damp soggy
observation = []
observation.append('dry')
observation.append('damp')
observation.append('soggy')
M = len(observation)
# 初始状态矩阵（1*N 第一天是sun，cloud，rain的概率）
P = (0.3,0.3,0.4)
# 状态转移矩阵A（N*N 隐藏层状态之间互相转变的概率）
A=((0.2,0.3,0.5),(0.1,0.5,0.4),(0.6,0.1,0.3))
# 混淆矩阵B（N*M 隐藏层状态对应的观测层状态的概率）
B=((0.1,0.5,0.4),(0.2,0.4,0.4),(0.3,0.6,0.1))
#假设观察到一组序列为observed，输出HMM模型（N，M，A，B，P）产生观察序列observed的概率
observed = ['dry']
print forward(N,M,A,B,P,observed)
observed = ['damp']
print forward(N,M,A,B,P,observed)
observed = ['dry','damp']
print forward(N,M,A,B,P,observed)
observed = ['dry','damp','soggy']
print forward(N,M,A,B,P,observed)

向后算法代码

#-*-coding:utf-8-*-
__author__ = 'ZhangHe'
def forward(N,M,A,B,P,observed):p = 0.0#观察到的状态数目LEN = len(observed)#中间概率LEN*MQ = [([0]*N) for i in range(LEN)]#令最后时刻所有状态的后向变量为1for j in range(N):Q[LEN-1][j] = 1# 最后时刻之前的状态，Q[i][j]=sum（第i天的当前状态Sj转移到第i+1天的状态Sk的转移概率，# 乘上第i+1天的状态Sk生成观测变量Oi+1观测概率,再乘上第i+1天Sk状态的概率   for  k  in   N）for i in range(LEN-2,-1,-1):for j in range(N):sum = 0.0for k in range(N):sum += A[j][k]*B[k][observation.index(observed[i+1])]*Q[i+1][k]Q[i][j] = sum for i in range(N):p += Q[0][i]return p
# 3 种隐藏层状态:sun cloud rain
hidden = []
hidden.append('sun')
hidden.append('cloud')
hidden.append('rain')
N = len(hidden)
# 4 种观察层状态:dry dryish damp soggy
observation = []
observation.append('dry')
observation.append('damp')
observation.append('soggy')
M = len(observation)
# 初始状态矩阵（1*N第一天是sun，cloud，rain的概率）
P = (0.3,0.3,0.4)
# 状态转移矩阵A（N*N 隐藏层状态之间互相转变的概率）
A=((0.2,0.3,0.5),(0.1,0.5,0.4),(0.6,0.1,0.3))
# 混淆矩阵B（N*M 隐藏层状态对应的观察层状态的概率）
B=((0.1,0.5,0.4),(0.2,0.4,0.4),(0.3,0.6,0.1))
#假设观察到一组序列为observed，输出HMM模型（N，M，A，B，P）产生观察序列observed的概率
observed = ['dry']
print(forward(N,M,A,B,P,observed))
observed = ['damp']
print(forward(N,M,A,B,P,observed))
observed = ['dry','damp']
print(forward(N,M,A,B,P,observed))
observed = ['dry','damp','soggy']
print(forward(N,M,A,B,P,observed))

viterbi算法代码

def viterbi(N,M,A,B,P,hidden,observed):sta = []LEN = len(observed)Q = [([0]*N) for i in range(LEN)]path = [([0]*N) for i in range(LEN)]#第一天计算，状态的初始概率*隐藏状态到观察状态的条件概率for j in range(N):Q[0][j]=P[j]*B[j][observation.index(observed[0])]path[0][j] = -1# 第一天以后的计算# 前一天的每个状态转移到当前状态的概率最大值# *# 隐藏状态到观察状态的条件概率for i in range(1,LEN):for j in range(N):max = 0.0index = 0for k in range(N):if(Q[i-1][k]*A[k][j] > max):max = Q[i-1][k]*A[k][j]index = kQ[i][j] = max * B[j][observation.index(observed[i])]path[i][j] = index#找到最后一天天气呈现哪种观察状态的概率最大max = 0.0idx = 0for i in range(N):if(Q[LEN-1][i]>max):max = Q[LEN-1][i]idx = iprint "最可能隐藏序列的概率："+str(max)sta.append(hidden[idx])#逆推回去找到每天出现哪个隐藏状态的概率最大for i in range(LEN-1,0,-1):idx = path[i][idx]sta.append(hidden[idx])sta.reverse()return sta;
# 3 种隐藏层状态:sun cloud rain
hidden = []
hidden.append('sun')
hidden.append('cloud')
hidden.append('rain')
N = len(hidden)
# 4 种观察层状态:dry dryish damp soggy
observation = []
observation.append('dry')
observation.append('damp')
observation.append('soggy')
M = len(observation)
# 初始状态矩阵（1*N第一天是sun，cloud，rain的概率）
P = (0.3,0.3,0.4)
# 状态转移矩阵A（N*N 隐藏层状态之间互相转变的概率）
A=((0.2,0.3,0.5),(0.1,0.5,0.4),(0.6,0.1,0.3))
# 混淆矩阵B（N*M 隐藏层状态对应的观察层状态的概率）
B=((0.1,0.5,0.4),(0.2,0.4,0.4),(0.3,0.6,0.1))
#假设观察到一组序列为observed，输出HMM模型（N，M，A，B，P）产生观察序列observed的概率
observed = ['dry','damp','soggy']
print viterbi(N,M,A,B,P,hidden,observed)

参考：
http://www.cnblogs.com/CheeseZH/ 作者：ZH奶酪——张贺
博客园（华夏35度）http://www.cnblogs.com/zhangchaoyang 作者:张朝阳