博弈论及算法实现（三种基础博弈）

一、巴什博弈（Bash Game）

只有一堆n个物品，两个人从轮流中取出（1~m）个；最后取光者胜。

考虑到若n=m+1 那么第一个人不论如何取都不能取胜。

进一步我们发现若 n=k*(m+1)+r; 先取者拿走 r 个，那么后者再拿（1~m）个

n=（k-1）*（m+1）+s；先取者再拿走s 个最后总能造成剩下n=m+1 的局面。

因此，此时先手有必赢策略。

相对应的，若n=k*(m+1) 那么先取者必输。

因此我们可以写出对应的程序（默认 n m都大于0）

 int Bash_Game(int n,int m)//是否先手有必赢策略{if (n%(m+1)!=0) return 1;return 0;}

二、尼姆博弈(Nimm Game)

正如上述.

从巴什博弈我们知道一个当情形对应一种状态,而由一个状态只能变为另一种状态时能很轻易地判断是否先手有必赢策略

那么怎么样才能在尼姆博弈里找到这样的状态呢?

如果把n堆抽象为n个非负整数,再将n个整数转化为二进制,然后对n个二进制数按位相加(不进位),若每一位相加都为偶数,

那么称这个状态为偶状态,否则称它为奇状态.

可以证明:任何一个偶状态在其中一个数变小后一定成为奇状态,而一个奇状态一定可以通过改变一个数变成偶状态.

前一点很显然,因为一个数变小至少有一位发生改变,这一位就改变了原来的偶状态.

对于后一点,对于一个从高位到低位某一位和为奇的奇状态,必定有一个数的二进制表示在此位为1,对于后面的较低位和为奇的情况,只要把这个数对应位取反即可得到一个偶状态.

到此,成功的构造了两个可以转换的状态!!!

那么对于n堆物品,只要判断它是否是奇状态就可以判断是否先手有必赢策略.

但是求每个数的二进制表示略显麻烦,可以用更好的办法,也是我偏爱的位运算.

XOR 和判断:

如果有奇数个二进制数在第K位为1 那么在这一位上的和为奇,同样的，偶数个1和为偶.

很明显位运算xor满足我们的要求,偶数个1异或和为0,奇数个为1;

由此,终于可以给出算法

int Nimm_Game(int n)//假设n个数存在数组f[]中,有必胜策略返回1
{int flag=0;for(int i=1;i<=n;i++)flag^=f[i];if(flag) return 1;return 0;
}

三　威佐夫博奕（Wythoff Game）：

有两堆各若干个物品，两个人轮流从某一堆或同时从两堆中取同样多的物品，规定每次至少取一个，多者不限，最后取光者得胜。

这种情况下是颇为复杂的。我们用（ak，bk）（ak ≤ bk ,k=0，1，2，…,n)表示两堆物品的数量并称其为局势，如果甲面对（0，0），那么甲已经输了，这种局势我们称为奇异局势。

前几个奇异局势是：（0，0）、（1，2）、（3，5）、（4，7）、（6，10）、（8，13）、（9，15）、（11，18）、（12，20）。

可以看出,a0=b0=0,ak是未在前面出现过的最小自然数,而 bk= ak + k，奇异局势有
如下三条性质：

1、任何自然数都包含在一个且仅有一个奇异局势中。
2、任意操作都可将奇异局势变为非奇异局势。
3、采用适当的方法，可以将非奇异局势变为奇异局势。

判断是否为奇异局势

设x= $\frac{\sqrt{5}-1}{2}$ k=[a*x]，向上取整

如果a+k=b，则（a，b）为奇异局势，后手胜，反之为先手胜

对应的代码在这里：

int Wythoff_Game(int a,int b)
{if(a>b)swap(a,b);double x=(sqrt(5.0)-1.0)/2.0;int k=ceil(1.0*a*x);if(a+k==b)return 0;//奇异局势，后手胜！elsereturn 1;//非奇异局势，先手胜！
}