准研一，准备做混动方向，先学一下MPC相关知识

DR_CAN的视频：【MPC模型预测控制器】1_最优化控制和基本概念：

【MPC模型预测控制器】1

1.最优化控制 Optimal Control

最优化控制的目的 Motivation:
在约束条件下达到最优的系统表现 Get the best performance within certain limitation

- 约束条件：物理限制等等；
- 最优：综合分析的结果，不是绝对的。

举个例子：汽车变道的轨迹选择

如上图所示，有两条线路可以选择，红色的线路1行驶距离短，速度快，较为舒适，绿色的线路2考虑到了紧急避障，需要迅速变道。因而在这个问题中，最优结果是相对的，不是绝对的。

2.数学模型 Mathematical Model

将上述的车辆行驶轨迹用数学模型表示。

2.1 SISO模型

SISO (Single Input Single Output，单输入单输出) 用以下系统框图表示：

r(t)：系统参考值
u(t)：输入
y(t)：输出
e(t)：误差 e(t) = y(t) - r(t)

从轨迹追踪的角度来看：

$\int_{0}^{t} e^{2} d t$ 越小，跟踪效果越好（误差越小）
$\int_{0}^{t} u^{2} d t$ 越小，输入越小（输入越小）

引入代价函数（Cost Function）：

$J=\int_{0}^{t} q e^{2}+r u^{2} d t$

最优化的过程即设计控制器的 $u$ ，使得 $J$ 取得最小值
$q$ 和 $r$ 均为调节参数， $q$ $\gg$ $r$ 时，更看重误差， $q$ $\ll$ $r$ 时，更看重能耗。

2.2 MIMO模型

再扩展至MIMO（Multiple Input Multiple Output，多输入多输出）用状态空间表示：

$\begin{array}{l} \frac{d X}{d t}=A X+B U \\ Y=C X \\ J=\int_{0}^{X} E^{T} Q E+U^{T} R U d t \end{array}$

例：

$\begin{array}{l} \frac{d}{d t}\left[\begin{array}{l} x_{1} \\ x_{2} \end{array}\right] = A\left[\begin{array}{l} x_{1} \\ x_{2} \end{array}\right]+B\left[\begin{array}{l} u_{1} \\ u_{2} \end{array}\right] \\ {\left[\begin{array}{l} y_{1} \\ y_{2} \end{array}\right] = \left[\begin{array}{l} x_{1} \\ x_{2} \end{array}\right]} \\ \end{array}$

参考值 $\begin{array}{l} V = \left[\begin{array}{l} v_{1} \\ v_{2} \end{array}\right] = \left[\begin{array}{l} 0 \\ 0 \end{array}\right] \\ \end{array}$

误差 $E = \left[\begin{array}{l} e_{1} \\ e_{2} \end{array}\right] = \left[\begin{array}{ll} y_{1}-r_{1} \\ y_{2}-r_{2} \end{array}\right] = \left[\begin{array}{l} x_{1} \\ x_{2} \end{array}\right]$

$\begin{array}{l}E^{T} Q E = \left[\begin{array}{l} x_{1} \\ x_{2} \end{array}\right]^{T}\left[\begin{array}{cc} q_{1} & 0 \\ 0 & q_{2} \end{array}\right]\left[\begin{array}{l} x_{1} \\ x_{2} \end{array}\right] = q_{1} x_{1}^{2}+q_{2} x_{2}^{2} \\ U^{T} R U = r_{1} u_{1}^{2}+r_{2} u_{2}^{2}\end{array}$

其中 $Q$ 和 $R$ 是调节矩阵， $q_1$ 、 $q_2$ 、 $r_1$ 、 $r_2$ 为调节系数。

3.模型预测概念

通过模型来预测系统在某一未来时间段内的表现来进行优化控制。
注：多用于数位控制，多采用离散型状态空间表达式，即 $X_{k+1}=A X_{k}+B U_{k}$

离散时采用欧拉法
（在k时刻）
步骤：
Step1：估计/测量读取当前系统状态（可测量则测量，不可测量则估计）

Step2：基于 $u_k, u_{k+1},u_{k+2} ...u_{k+N}$ 进行最优化

如下图所示：
$y_k$ ~ $y_{k+2}$ 预测区间 Predictive Horizon
$u_k$ ~ $u_{k+2}$ 控制区间 Control Horizon

$u_k, u_{k+1},u_{k+2}$ 的选取即为最优化问题

代价函数

$J=\sum_{k}^{N-1} E_{k}^{T} Q E_{k}+U_{k}^{T} R U_{k}+E_{N}^{T} F E_{N}$

$E_{N}^{T} F E_{N}$ 终端误差 Terminal Cost 表示最终代价（预测时间最末端误差的代价）

Step3：只取 $u_k$ (只选取 $k$ 时刻作为预测结果，因为预测存在局限性)
在预测 $k+1$ 点的时候，预测区间和控制区间向右移动一时刻，以此预测未来的表现，这个过程叫做滚动优化控制 Receding Horizon Control

MPC特点：

在每一步都需要进行一次最优化计算，因此对控制器计算能力要求较高
求解最优化问题时，会考虑系统的约束

下一篇博客将推导MPC数学模型：

【DR_CAN-MPC学习笔记】2.最优化数学建模推导

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