上一篇博客：【DR_CAN-MPC学习笔记】2.最优化数学建模推导

参照二次规划一般形式，详细推导了MPC的数学模型，即最小化代价函数的表达式，最终推导结果为：

DR_CAN的视频：

【MPC模型预测控制器】3_一个详细的建模例子

【MPC模型预测控制器】4_完整案例讲解 - Octave代码

---

离散系统状态空间一般形式：

其中 为状态向量（n×1）， 为输入向量（p×1）， 为系统状态矩阵（n×n）， 为系统输入矩阵（n×p）。

单输入二阶系统的例子：

上式中，，，n = 2，p = 1

系统状态向量和输入向量的关系：

• 表示在k时刻预测 k＋1 时刻的系统状态。
• 由于 由 决定，因此不需要 ，所以 比 少一个维度。
• 因为初始值 和 均为 n×1 向量，因此 为 (N+1)n×1 向量。同理可推出 为 Np×1 向量。

• 为 (N+1)n×n 矩阵。
• 矩阵上面所有的 0 与初始状态 有关（n×1矩阵）， 均为 n×p 矩阵，因此 为 (N+1)n×Np 矩阵。

具体可参考上一篇博客的推导（【DR_CAN-MPC学习笔记】2.最优化数学建模推导）：

分析过程：

回到单输入二阶系统的例子，，，n = 2，p = 1，假设预测区间 N=3 ，

整理一下维度：

	=			+
(N+1)n×1	=	(N+1)n×n	n×1	+	(N+1)n×Np	Np×1
8×1	=	8×2	2×1	+	8×3	3×1

对于系统输出方程： ，参考值 ，误差 ，代价函数为：

代价函数 = 误差加权和 + 输入加权和 + 终端误差，其中 和 为权重系数矩阵且均为对角矩阵。

经过简化后消去变量  （简化过程参考【DR_CAN-MPC学习笔记】2.最优化数学建模推导）：

由上式可见， 只包含了初始状态项 和输入项 ，对 进行最优化可以得到输入项 。

矩阵 与  有关：

其中 和 是原来两个权重矩阵 和 的增广形式：

矩阵计算较为复杂，可用编程求解。

例子代码：

控制目标：设计合适的 使得 随着 的增加，趋近于0。引入误差 ：

为目标值，控制目标为令误差接近0。

状态矩阵（n×k）：

...

输入矩阵（p×k）：

...

状态方程：

例如：k=1 时， 表示第2列

回到单输入二阶系统的例子：

为系统状态变量权重矩阵， 为系统输入变量权重矩阵， 为终端权重矩阵。

DR_CAN给出了Octave代码，在Matlab中也可以运行。下面的代码是我在此基础上修改后的单输入例子的代码，后面也有介绍如何修改为多输入系统。

传送门：（二输入系统）【MPC模型预测控制器】4_Octave代码

代码一共由三个部分组成，分别为主程序：MPC_Test.m，以及两个函数：MPC_Matrices.m和Prediction.m

MPC_Test.m

设置初始参数：

，...

%% 清屏
clear;
close all;
clc;%% 加载 optim package,若使用matlab，则注释掉此行
pkg load optim;%% 第一步，定义状态空间矩阵
%% 定义状态矩阵 A, n x n 矩阵
A = [1 0.1; 0 2];
n= size (A,1); % 计算矩阵第一个维度的长度%% 定义输入矩阵 B, n x p 矩阵
B = [0; 0.5];
p = size(B,2); % 计算矩阵第二个维度的长度%% 定义Q矩阵，n x n 矩阵
Q=[1 0; 0 1];%% 定义F矩阵，n x n 矩阵
F=[1 0; 0 1];%% 定义R矩阵，p x p 矩阵
R=[0.1];%% 定义step数量k
k_steps=100; %% 定义矩阵 X_K， n x k 矩 阵
X_K=zeros(n,k_steps);%% 初始状态变量值， n x 1 向量
X_K(:,1)=[20;-20]; % 初始状态不为0，控制目标为0%% 定义输入矩阵 U_K， p x k 矩阵
U_K=zeros(p,k_steps);%% 定义预测区间K
N=5;%% Call MPC_Matrices 函数 求得 E,H矩阵
[E,H]=MPC_Matrices(A,B,Q,R,F,N);%% 计算每一步的状态变量的值
for k = 1 : k_steps
%% 求得U_K(:,k)
U_K(:,k) = Prediction(X_K(:,k),E,H,N,p);
%% 计算第k+1步时状态变量的值
X_K(:,k+1)=(A*X_K(:,k)+B*U_K(:,k));
end%% 绘制状态变量和输入的变化
subplot(2, 1, 1);
hold;
for i =1 :size (X_K,1)
plot(X_K(i,:));
end
legend("x1","x2")
hold off;
subplot(2, 1, 2);
hold;
for i =1 : size(U_K,1)
plot(U_K(i,:));
end
legend("u1") %% 作者：DR_CAN https://www.bilibili.com/read/cv16891782 出处：bilibili

分析：

注释掉以下行，即输入设为0，可单独运行：

N=5;
[E,H]=MPC_Matrices(A,B,Q,R,F,N);
U_K(:,k) = Prediction(X_K(:,k),E,H,N,p);

得到：

由上图可见， 均趋于无穷，因为初始状态不为0且输入为0.

接下来设置合适的输入使得状态值趋于0.

代价函数：

与初始状态有关，不影响代价函数，因此控制目标为最小化 .

预测了N项，但结果只取第一项 .

矩阵 在之前已经分析过了：

矩阵的计算用 MPC_Matrices 函数解决，即代码：

[E,H]=MPC_Matrices(A,B,Q,R,F,N);

功能：输入矩阵 A,B,Q,R,F 和预测区间 N ，输出矩阵 E,H。具体过程参考下面的 MPC_Matrices.m 文件。接下来进行预测：

U_K(:,k) = Prediction(X_K(:,k),E,H,N,p);

MPC_Matrices.m

function  [E , H]=MPC_Matrices(A,B,Q,R,F,N)n=size(A,1);   % A 是 n x n 矩阵, 得到 n
p=size(B,2);   % B 是 n x p 矩阵, 得到 pM=[eye(n);zeros(N*n,n)]; % 初始化 M 矩阵. M 矩阵是 (N+1)n x n的， % 它上面是 n x n 个 "I", 这一步先把下半部% 分写成 0
C=zeros((N+1)*n,N*p); % 初始化 C 矩阵, 这一步令它有 (N+1)n x NP 个 0% 定义M 和 C
tmp=eye(n);  %定义一个n x n 的 I 矩阵%　更新Ｍ和C
for i=1:N % 循环，i 从 1到 Nrows =i*n+(1:n); %定义当前行数，从i x n开始，共n行 C(rows,:)=[tmp*B,C(rows-n, 1:end-p)]; %将c矩阵填满tmp= A*tmp; %每一次将tmp左乘一次AM(rows,:)=tmp; %将M矩阵写满
end % 定义Q_bar和R_bar
Q_bar = kron(eye(N),Q);
Q_bar = blkdiag(Q_bar,F);
R_bar = kron(eye(N),R); % 计算G, E, H
G=M'*Q_bar*M; % G: n x n
E=C'*Q_bar*M; % E: NP x n
H=C'*Q_bar*C+R_bar; % NP x NP
end %%作者：DR_CAN https://www.bilibili.com/read/cv16891782 出处：bilibili

Prediction.m

function u_k= Prediction(x_k,E,H,N,p)U_k = zeros(N*p,1); % NP x 1
U_k = quadprog(H,E*x_k); % 求出代价函数最小时U_k的数值
u_k = U_k(1:p,1); % 取第一个结果end %%作者：DR_CAN https://www.bilibili.com/read/cv16891782 出处：bilibili

分析：

quadprog：matlab自带的最优化函数

运行结果：

由上图所示，状态值 趋于0.

以上为单输入系统的例子。

二输入例子：

代码修改一下，也可以用于多输入，比如：

修改矩阵 A,B,R,Q,F,R ，使得 变化得更快（通过对矩阵Q的设置），且降低能耗减小 初始值（系统的输入一般是耗能的部分，通过对矩阵R的设置）

修改后的 MPC_Test.m：（其余不变）

%% 清屏
clear;
close all;
clc;%% 加载 optim package,若使用matlab，则注释掉此行
% pkg load optim;%% 第一步，定义状态空间矩阵
%% 定义状态矩阵 A, n x n 矩阵
% A = [1 0.1; 0 2];
A = [1 0.1; -1 2];
n= size (A,1); % 计算矩阵维度%% 定义输入矩阵 B, n x p 矩阵
% B = [0; 0.5];
B=[0.2 1; 0.5 2];
p = size(B,2);%% 定义Q矩阵，n x n 矩阵
% Q=[1 0; 0 1];
Q=[100 0; 0 1]; % 更加看重x_1的变化%% 定义F矩阵，n x n 矩阵
% F=[1 0; 0 1];
F=[100 0; 0 1];%% 定义R矩阵，p x p 矩阵
% R=[0.1];
R=[1 0; 0 0.1]; % 减小能耗，减小输入u_1%% 定义step数量k
k_steps=100; %% 定义矩阵 X_K， n x k 矩 阵
X_K = zeros(n,k_steps);%% 初始状态变量值， n x 1 向量
X_K(:,1) =[20;-20];%% 定义输入矩阵 U_K， p x k 矩阵
U_K=zeros(p,k_steps);%% 定义预测区间K
N=5;%% Call MPC_Matrices 函数 求得 E,H矩阵
[E,H]=MPC_Matrices(A,B,Q,R,F,N);%% 计算每一步的状态变量的值
for k = 1 : k_steps
%% 求得U_K(:,k)
U_K(:,k) = Prediction(X_K(:,k),E,H,N,p);
%% 计算第k+1步时状态变量的值
X_K(:,k+1)=(A*X_K(:,k)+B*U_K(:,k));
end%% 绘制状态变量和输入的变化
subplot(2, 1, 1);
hold;
for i =1 :size (X_K,1)
plot(X_K(i,:));
end
legend("x1","x2")
hold off;
subplot(2, 1, 2);
hold;
for i =1 : size (U_K,1)
plot(U_K(i,:));
end
legend("u1","u2") %% 作者：DR_CAN https://www.bilibili.com/read/cv16891782 出处：bilibili

由上图所示， 迅速趋近于0. 相比于 R=[0.1 0; 0 0.1] 时，R=[1 0; 0 0.1] 时的输入 减小，但  趋近于0的速度变缓。由此也可以看出MPC的最优化的决策结果不是绝对的。

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