定积分和不定积分

两者有本质区别。从概念的引入就截然不同，毫无关系。所以学习过程中，不要把两者高搞混。理解定积分不需要理解不定积分，同样地，学习不定积分也不需要理解定积分。

不定积分的概念引入是「导数的逆运算」

定积分的概念引入是「面积的定义」

今天我记录的是定积分的部分，不全，以后补充修正。

什么是定积分？

对「定积分」的定义是对「曲边梯形面积的定义」，进一步地，实际上是「求面积过程的抽象表示」。如果你已经有了定积分的知识，你会发现：定积分的符号其实就一「求面积的过程」：先求和，再取极限。说白了，定积分的符号只是在说「按照符号所表示的步骤算就能算出面积」，它刻画了一个面积与函数的关系。

所以，我们对定积分符号的理解，既可以是「求面积过程的抽象表示」也可以是「面积本身」。这没什么区别，所以定义定积分，就是在问我们自己：求一个面积的过程是什么？

那么显然，不同的人求面积有不同的方法，因此有不同的定积分表示，也就不足为奇了。而我们现代数学所给出的一种求解思路是黎曼给出的，所以叫做黎曼积分，我们简称定积分。这也能够说明为什么一个函数是可积的要写成：

的形式，因为R代表Riemann（黎曼）。

感想总结：定积分，就是一个求解面积的思路。其符号是这一思路的抽象表示，思路可以有很多种，我们学习的是Riemann 积分。因此，「符号」很重要，对「符号」的挖掘实际上就是对思路的理解。

定积分——求解面积的思路

简言之，用小矩形面积的和逼近。

这个思路很好理解，简单来说分成四步：先分割，再求每个矩形面积，再求和，最后取极限。

我们一步一步来引出黎曼积分。

（一）分割

拿到一个函数：分割什么？怎么分割？

首先，这是个函数，所以对函数自变量进行切割，以达到目的是显见的思路。

自然语言：我们往一个区间内投下若干个点。切割完成。

我们得进一步问自己，是不是这个区间里点的数量，点与点之间的长度没有要求？

答：是，只要有点，无论点在什么区间的什么位置上，无论区间内被投下了多少个点，我们都已经达成了切割的目的。因此，在这一步中，投的点的数量和方法都是任意的。

数学语言：

在

内

任意地插入n-1个分点。

任意地：表示区间内，每点的位置都随机，本质上反映的是相邻两个分点的距离没有要求。

注意，

我们写了是n-1个点，其实并没有规定数量，因为n是任意给定的，这样写是为了之后方便刻画分点数量与区间长度或者面积的关系，请在这里把n理解成一个筐，它代表一个尚未确定的数量（毕竟我们总得找个东西替代「任意数量」来方便以后的描述吧）。之所以是n-1是因为，我们当然希望这个区间被割成n段，其实插入n个分点也行，当然，你这个区间就被割成了n+1段，这无伤大雅，只是方便与不方便的关系。

还记得极限中

的含义么？所谓

任意其实是任意选定。这意味着，我们现在所给的「切割」这个表述，在没有给定具体的点的数量和点的位置的时候，其实涵盖了这个区间上所有可能的分割情况：从只有一个分割点，到无穷无尽个分割点，从分割点之间的距离都一样，到每点之间距离都不同。无论点的数量和位置再怎么变化：都是我们所给定刻画中的一种情况罢了。这种结果的产生是「任意性」的功用，请注意，任意这个词很有威力。

我倾向于在这里停一停，阐述一下「任意」：
1.任意是涵盖所有情况的。是一种统领，在「任意」条件下的命题，是一般化的，普遍化的，他告诉我们某命题对任何一种给定的情况都适用，或者某操作，某条件包括了一切情况。包括无限近处，和无限远处。

2.任意又是任意选定的意思，表示一旦选定，就不会再改变。

因此我们可以自信地说，通过我们的定义，把所有可能的分割情形都包在里面了。

既然我们描述了切割的操作，自然也要刻画一下切割以后，区间的状态。

在求面积的时候，我们关心的是相邻两点之间的长度（矩形的宽），那么自然，我们需要给分割后区间上的分点起个名字以方便刻画每个小矩形的边界，还需要给相邻点间的距离起个名字来表示长度，然后，因为分割是任意的，每一种分割对应着不同的状态，从整体上点的分布起个名字，代表着一种「划分」状态。

所以有以下定义也就不足为奇了，只是为了方便叙述而引入的「名字」罢了：

自然地，当我们把区间的端点纳入考虑的范围的时候，就有：

,其中，每一个「分点」被记作

，

点的名字起好了，我们是通过自然数下标的对应关系确定的，这样的话我们就可以通过操作自然数下标自由地取出一系列具有相应特征的点，比如

，这样的子列。因此，这样的

起名方式是合适的。

注意，在这里，我一直强调这种新的定义只是一种为了方便叙述而起的名字，就跟生了小宝宝就必然要对它起名一样自然。

定义了区间内的点（给区间内的点起完名字），那么相邻两点的区间长度的命名就显得十分自然：

则

,其中，

是区间长度。

同样地，我们通过自然数下标的方式对其命名，这种起名方式如此方便，简洁，能让我们通过自然数下标对内部的区间长度进行任意的提取，蕴含了智慧。

与此同时，我们发现，我们在命名区间长度之后，还为它赋予了值的意义。

对于任意地插入点后区间内点的分布「状态」，我们称之为「划分」。用记作

。对于某一个划分，我们也可以通过下标或者上标控制。

注意，定义的划分虽然涵盖了所有可能的情况，但它本身实际含义是「任意一种」。

就和我们说实轴上的点x可以是任意一个实数，从而「涵盖了实数的所有可能」，但它肯定不是「所有实数」一样自然。

因此我们叙述中，当然可以说一个划分，若干个划分，这实际上代表着区间内插入点的数目多少和相邻点之间的距离，简言之，划分代表着分点的分布状态。

在这里，我们先不对

下定义，因为暂时的，对它起名字还不是那么必要，我希望传达一个这样的信息：任何定义的引入，或者给任何一个东西起名字，都不是凭空产生的，都是为了一定的方便。在必要性尚未显见的时候就起名字难免让人奇怪。

我们在切割时候，还要时刻问自己，我们这么切是为了啥？

为了方便地描述每一个小矩形的面积。

（二）给求小矩形面积

在上面的切割过程中，我们轻松地看到了任一小矩形的宽，可以用

表示，自然地，我们只差一个高了。

高怎么表示呢？

很自然的想法是

,但这精确么？并不。

那我...需要取一个「精确的高」么？做不到，也不需要。

因为我们心里很清楚，按照我们的思路，在接下来的步骤中，会对切分出的分点段长度取极限，让它无限地小，无限地小，小到可以忽略不精确的部分。

我们需要注意的是，这种忽略不是一种近似，它在值上面确确实实等于我真实的面积。

这里先按下不表，接下来我们会继续讨论。

在这里，我们需要清楚：

我们需要做的，实际上是：让我们的「高」受到「分点段长度」的「控制」。

这样在不断地缩小「分点段长度」的过程中，「高」可以随之改变。

因此，「高」取

当然是没有问题的，

那么，「高」还可以取得其他值么？

我们继续思考，对于任意的

，是不是都能够保证对应的函数值随着区间段的缩小而逐渐逼近于同一个值呢？是的。

因此，为了更一般的表述，或者为了一个「更强」的命题，我们高的选取是这样刻画的：

任取介点

每一个小矩形的高的选择完成。

我们在这里再停一下，回头看一眼：

对于每一个高我们都做出了刻画，我们再给这些高整体起一个名字吧，我们称一个划分下所有高对应的x值的集合为一个介点集。 这里的命名是自然的，并没有什么额外的含义，只是因为有所以叫而已。

（三）求和

接下来自然是求和啦～

让我们把这些小矩形的面积好好地加起来，变成一个黎曼和的形式。

即：

我们再起一个名字吧！给黎曼和起一个名字，在这里起名字纯粹是为了方便书写，并且凸显一些关系，实际上是无所谓的。

在这里我们凸显了，黎曼和只和函数/划分点的选取（实际上是矩形宽）/介点的选取（矩形高）有关，其余无关。这也是黎曼和的特性，判断是否是黎曼和的标准。

完成这一步，我们再回头看一看：

我们在求和完成后，用一堆矩形的面积和覆盖掉原图的面积，这是一种近似，但我们可以通过不断地对区间段进行加细，即尽可能多地往区间内插入点，以让每一个矩形的宽都不断地变小，进而控制每一个矩形的高不断地变化，以让每一个小矩形都在「无限小处」覆盖对应部分面积，此时，这无穷多个矩形的面积和，与原图形的面积没有差异了，这是因为每一个小矩形在无穷处刚好覆盖那一点点的面积，而没有空隙。

！！

你会疑问：为什么在「无限小处」对应部分面积与相应部分面积之间没有差异。

这是精髓所在：因为「极限」思想，如果还不理解，请看本专栏的第一篇手记。

我们之前所操作的三步，思路平平，但其实暗藏玄机————在于变量之间的相互「控制」。

我们只要控制住「最大矩形的宽度」使它无限小，就能保证「所有矩形的宽度无限小」，又因为，每一个小矩形的高度是由「对应矩形宽度」决定的，因此，我们还能保证任意选取的小矩形的高也不断地逼近于同一点。这样，我们就能保证，每一个小矩形都逼近于一个点附近的面积，自然地，求和以后就是原图形面积。

很妙，但「最大矩形宽度」我们并没有定义。

所以我们命名

为划分下最大区间长度。

（四）取极限

很简单，让

即可。

由此，我们完成了这一系列操作，我们再来看定积分的定义是不是顺眼很多了呢？