【博弈】叉圈棋永远都是平局

叉圈棋的规则
棋盘状态的表示
棋盘状态的转移
必胜/必败状态的确定
采用的最优策略
无法到达的状态
深度优先搜索（DFS）

叉圈棋的规则

在一个3x3的棋盘上，先手画“ ◯\bigcirc◯ ”，后手画“ ×\times× ”，如果某方将三个棋子连成一条直线或者斜线就获胜。

棋盘状态的表示

每一个格子都有3种状态，用000表示格子里没有棋子，用111表示格子里有先手画的“ ◯\bigcirc◯ ”，用222表示格子里有后手画的“ ×\times× ”。这样3x3的棋盘状态共有39=196833^{9}=1968339=19683种，我们可以用一个intintint类型的333进制数来表示。
同时，从左上到右下给棋盘里的每个格子编号0−80 - 80−8。

这个状态可以表示为：status=2∗(32)+1∗(34)+1∗(35)=342status = 2*(3^{2})+1*(3^{4})+1*(3^{5})=342status=2∗(32)+1∗(34)+1∗(35)=342

棋盘状态的转移

如果后手在333号位置画了一个“ ×\times× ”，新的状态可以表示为：
status’=status+2∗(33)status’ = status + 2*(3^{3})status’=status+2∗(33)

必胜/必败状态的确定

对于没有平局的博弈问题，我们可以将必胜状态记作PPP状态，必败状态记作NNN状态，两者之间的关系是：
(1) 如果当前状态的后续状态都是PPP局，那么当前状态是NNN状态。(无论如何都会留给对手必胜状态)
(2) 如果当前状态的后续状态存在NNN局，那么当前状态是PPP状态。(在最优策略下可以留给对手必败状态)

叉圈棋是带有平局的博弈问题，我们可以增加一个DDD状态来表示平局状态。（这个名字是随便取的）
这里用sg[status]sg[status]sg[status]表示statusstatusstatus的NNN/DDD/PPP状态。

（*严格来说，这里的sgsgsg值并不是sgsgsg函数，只是借用了这个名字。对于某些特殊的问题，两者是等价的，但是sgsgsg函数实际上还会考虑转移到必败态的步数）

当sg值为0时，表示当前状态是必败状态(NNN)。
当sg值为1时，表示当前状态是平局状态(DDD)。
当sg值为2时，表示当前状态是必胜状态(PPP)。

采用的最优策略

双方都会尽可能留给对手必败状态，如果没有必败状态，也要尽可能保证平局。
也就是在后续状态的sgsgsg值中选择最小值。
sg[status′]=2–min(sg[status+type∗(3k)])sg[status']=2 – min( sg[status+type*(3^{k})] )sg[status′]=2–min(sg[status+type∗(3k)])

无法到达的状态

除此之外，受到游戏规则的约束，大部分状态是无法到达的，比如：

可以用−1-1−1来表示这些无法到达状态的sgsgsg值。

深度优先搜索（DFS）

接下来，我们使用深度优先搜索(DFS)的方法确定所有棋盘状态的sgsgsg值。

结果发现：
(1) 无论先手第一步把“ ◯\bigcirc◯ ”画在哪里，后手都有办法到达平局。
(2) 开局要抢占中心点和角落里的格子，如果先手画在中心则后手必须画在角上，如果先手画在角上则后手必须画在中心，然后只要封堵对手的路线上的第三个棋子即可。
(3) 必败状态是对手在两条路线上都已摆好两个棋子，无论如何都只能封堵一条路线。形成必败状态只用3个棋子就足够。
(4) 在所有状态中只有5478种状态可以到达，约占总状态数的27.8%。

最后把打好的NNN/DDD/PPP表交给电脑，顺便写了一个叉圈棋小游戏，从此我和电脑下叉圈棋就再也没赢过。 (๑ १д१)

C/C++代码

#include<stdio.h>
#include<string.h>
const int MAXN=20000; // 棋盘状态上限
int sg[MAXN]; // sg值: 0=必败 1=平手 2=必胜 -1=无法到达的局面
int BASE3[10]; // 存放3的若干次幂
int f[10]; // 存放当前棋盘
void init(){BASE3[0]=1;for(int i=1;i<=9;i++) BASE3[i]=BASE3[i-1]*3;for(int i=0;i<MAXN;i++) sg[i]=-1; // 初始化
}
int getPos(int status,int pos){return (status/BASE3[pos])%3; // 从status状态中提取pos位置
}
int checkGameOver(int status){// 返回值: 0=某方获胜 1=棋盘已满并且无人获胜 -1=棋盘未满并且无人获胜int flag=1;for(int i=0;i<9;i++){f[i]=status%3; status/=3;if(f[i]==0) flag=-1; // 表示棋盘没有满 }for(int i=0;i<3;i++){if(f[i]!=0 && f[i]==f[i+3] && f[i]==f[i+6]) return 0;if(f[3*i]!=0 && f[3*i]==f[3*i+1] && f[3*i]==f[3*i+2]) return 0;}if(f[4]!=0 && f[4]==f[0] && f[4]==f[8]) return 0;if(f[4]!=0 && f[4]==f[2] && f[4]==f[6]) return 0;return flag;
}
int min(int a,int b){return a<=b? a:b; // 最小值函数
}
int DFS(int status,int type){int flag=checkGameOver(status);if(flag!=-1){sg[status]=flag; return flag; // 胜负已定 }flag=3; // 后续状态的sg值一定小于3 for(int i=0;i<9;i++){// 枚举后续状态 if(getPos(status,i)!=0) continue;flag=min(flag,DFS(status+type*BASE3[i],3-type));}sg[status]=2-flag; return sg[status];
}int main()
{init();int cnt=0,res=DFS(0,1);printf("SG[0]=%d\n",res);for(int x=0;x<BASE3[9];x++){if(sg[x]!=-1) cnt+=1;}printf("Number of Status : %d\n",cnt);return 0;
}

（为什么C++的代码块配色这么丑呢？？！）